Biolomorfismo tra ${z in CC| abs(z)<1}$ e ${z in CC| Im(z)>0}$

[andreadel1988]

Trovare un biolomorfismo esplicito tra ${z in CC| abs(z)<1}$ e ${z in CC| Im(z)>0}$.
Stavo pensando alla funzione $f:\{z \in \mathbb{C} | |(z)| < 1 \}\to\{z \in \mathbb{C} | \text{Im}(z) > 0 \}$ data da $f(z)=\frac{iz}{z-1}$ e alla sua inversa $g(w)=\frac{w}{w-i}$.
Per dimostrare che sono olomorfe vedo direttamente che soddisfano le equzione di Cauchy RIemann?

[pilloeffe]

Ciao andreadel1988,

Una funzione olomorfa $f : D \rightarrow f(D)$ si dice biolomorfismo locale in un intorno di un punto $z_0$ se è localmente invertibile con inversa olomorfa. Se $f$ ammette un’inversa olomorfa globale $f^{-1} : f(D) \rightarrow D$, si dice un biolomorfismo da $D$ a $f(D)$. I biolomorfismi sono dei particolari omeomorfismi da $D$ a $f(D)$.
Dal teorema generale per le funzioni su $\RR^n$ abbiamo le condizioni necessarie e sufficienti affinché una funzione olomorfa sia un biolomorfismo locale:

Una funzione olomorfa $f$ è localmente invertibile (come funzione olomorfa) in un punto $z_0$ se e soltanto se $f'(z_0) \ne 0 $.
Dimostrazione.
Identifichiamo $\CC $ con $\RR^2$: siano $u, v : \RR^2 \rightarrow \RR$ tali che $f(x, y) = (u(x, y), v(x, y))$, e sia $z_0 = (x_0, y_0)$.
Allora
\( \displaystyle \text{det} J(x_0, y_0) = (u_x v_y − u_y v_x)|_{(x_0,y_0)} = (u_x^2 + v_x^2)|_{(x_0,y_0)} = |f'(z_0)|^2 \)
dove la seconda uguaglianza è data dalle condizioni di Cauchy-Riemann su $u$ e $v$.
Dunque, $f$ ammette in $z_0$ un’inversa locale $g$ di classe $\CC^{\infty}$ se e soltanto se $f'(z_0) \ne 0 $.

[andreadel1988]

Ok, volevo sapere anche se effettivamente le funzioni andassero bene.

[Quinzio]

Ok, volevo sapere anche se effettivamente le funzioni andassero bene.

La funzione che ti serve e' $(1+iz)/(1-iz)$ e la sua inversa.

Purtroppo nel campo complesso inizia a diventare difficile di trovare queste funzioni.

[pilloeffe]

In generale vanno bene tutte le funzioni del tipo

$w = f(z) = e^{i\theta_0}(z - z_0)/(z - \bar{z}_0) $

Poi dipende da come si vogliono mappati i punti; ad esempio se si vuole che $w = 0 $ corrisponda a $z = i$, e $w = - 1$ corrisponda a $z = \infty $, allora dalla funzione menzionata poc'anzi si ha:

i) $0 = e^{i\theta_0}(i - z_0)/(i - \bar{z}_0) \implies z_0 = i$
ii) $ - 1 = w = e^{i\theta_0} $

Quindi in tal caso la trasformazione richiesta è la seguente:

$w = f(z) = (- 1)(z - i)/(z + i) = (i - z)/(i + z) = ((- i)(i - z))/((- i)(i + z)) = (1 + iz)/(1 - iz) $

che è proprio la funzione che ti ha già scritto Quinzio.

[andreadel1988]

L' inversa dovrebbe essere $(z-1)/(i(z+1))$, come si fanno a trovare queste funzioni? Io inzialmente pensavo di trovare una funzione che appunto "conservasse gli angoli " in modo tale che fosse olomorfa e appunto ho trovato quella funzione componendo traslazioni, rotazioni e la funzione olomorfa $1/z$, ora non so se ho sbagliato in termini di dominio e codominio (ovvero la mappa che ho definito ad esmepio non è ben posta in un punto del dominio oppure ha punti fuori dal codominio che ho definito)

[Quinzio]

L' inversa dovrebbe essere $(z-1)/(i(z+1))$, come si fanno a trovare queste funzioni?

Questa funzione e' molto nota nel campo del Digital Signal Processing.
Se vuoi guardare: https://en.wikipedia.org/wiki/Bilinear_transform
Infatti non so che utilita' puo' avere a darla come esercizio.

Se vuoi "capire" come mai questa funzione riesca a mappare uno dei semipiani nel disco unitario devi fare cosi': nel piano complesso traccia i punti $(1,0)$ e $(-1,0)$ e poi un altro punto a caso $z$.
Quindi traccia il "vettore" da $(1,0)$ a $z$ e questo sarebbe il numero complesso $z-1$.
Poi fai la stessa cosa da $(-1,0)$ a $z$ e questo e' $z+1$.
Se stai nel semi piano destro, ad esempio, vedi che la lunghezza del "vettore" $z-1$ e' sempre minore di quell'altro. Quindi il rapporto tra i moduli e' minore di 1, e quindi sei all'interno del disco di raggio 1.

[pilloeffe]

L' inversa dovrebbe essere $(z−1)/(i(z+1))$, come si fanno a trovare queste funzioni?

Casomai $z = g(w) = (w−1)/(i(w+1))$

Facile, prendi la funzione che ti ha scritto Quinzio e che ti ho confermato:

Quindi in tal caso la trasformazione richiesta è la seguente:

$ w = f(z) = (- 1)(z - i)/(z + i) = (i - z)/(i + z) = ((- i)(i - z))/((- i)(i + z)) = (1 + iz)/(1 - iz)$

$ w = (1 + iz)/(1 - iz)$

$ w -iwz = 1 + iz $

$ iz + iwz = w - 1 $

$ z = g(w) = (w - 1)/(i(w + 1)) $

[Quinzio]

Facile, prendi la funzione che ti ha scritto...

Secondo me sta chiedendo una cosa diversa, ovvero gli hanno chiesto di trovare una funzione che mappa dal disco unitario al semipiano immaginario (o viceversa), lui chiede: come la trovo se non la conosco ?
Cioe' di fronte a richieste del genere, come faccio la trovare la funzione che fa quello che mi chiedono ?

[pilloeffe]

Secondo me sta chiedendo una cosa diversa, ovvero gli hanno chiesto di trovare una funzione che mappa dal disco unitario al semipiano immaginario (o viceversa), lui chiede: come la trovo se non la conosco ?

Beh, un paio di post fa

In generale vanno bene tutte le funzioni del tipo

$ w = f(z) = e^{i\theta_0}(z - z_0)/(z - \bar{z}_0) $

Poi dipende da come si vogliono mappati i punti; ad esempio se si vuole che $w = 0$ corrisponda a $z = i$, e $w = − 1 $ corrisponda a $z = \infty $, allora dalla funzione menzionata poc'anzi si ha:

i) $ 0 = e^{i\theta_0}(i - z_0)/(i - \bar{z}_0) \implies z_0 = i $
ii) $ - 1 = w = e^{i\theta_0} $

Quindi in tal caso la trasformazione richiesta è la seguente:

$ w = f(z) = (- 1)(z - i)/(z + i) = (i - z)/(i + z) = ((- i)(i - z))/((- i)(i + z)) = (1 + iz)/(1 - iz) $

Le trasformazioni più comuni si possono trovare nel testo della collana Schaum Complex Variables - Murray R. Spiegel ed altri, Capitolo 8 da pagina 242 in poi:
https://github.com/anishLearnsToCode/books/blob/master/complex-analysis/complex-variables-schaum-2e.pdf

Un altro testo dove si trovano queste trasformazioni, che però è un po' più difficile da reperire, è Teoria delle funzioni di una variabile complessa - A. G. Svesnikov, A. N. Tichonov, Capitolo VI - Trasformazioni conformi, pagine 145-179