andreadel1988 ha scritto:L' inversa dovrebbe essere $(z-1)/(i(z+1))$, come si fanno a trovare queste funzioni?
Questa funzione e' molto nota nel campo del Digital Signal Processing.
Se vuoi guardare:
https://en.wikipedia.org/wiki/Bilinear_transformInfatti non so che utilita' puo' avere a darla come esercizio.
Se vuoi "capire" come mai questa funzione riesca a mappare uno dei semipiani nel disco unitario devi fare cosi': nel piano complesso traccia i punti $(1,0)$ e $(-1,0)$ e poi un altro punto a caso $z$.
Quindi traccia il "vettore" da $(1,0)$ a $z$ e questo sarebbe il numero complesso $z-1$.
Poi fai la stessa cosa da $(-1,0)$ a $z$ e questo e' $z+1$.
Se stai nel semi piano destro, ad esempio, vedi che la lunghezza del "vettore" $z-1$ e' sempre minore di quell'altro. Quindi il rapporto tra i moduli e' minore di 1, e quindi sei all'interno del disco di raggio 1.