andreadel1988 ha scritto:Consideriamo $S^2$ con le due proiezioni stereografiche rispettivamente togliendo il polo nord e il polo sud, trovare la funzione di incollamento che si ottiene attraverso la definizione di superficie riemanniana con le due carte date dalle due proiezioni.
Chiamiamo $\varphi_1$ la proiezione stereografica da $S^2\\{N}$ a $\mathbb{C}$ e $\varphi_2$ la proiezione stereografica da $S^2\\{S}$ a $\mathbb{C}$, abbimao che la mappa di incollamento è definita da $(\varphi_1)^-1 \circ \varphi_2 :\mathbb{C^*->C^*}$, ma allora preso $z=x+iy \in C^*$, ricordando che $(\varphi_1)^-1(x,y)=(\frac{2x}{1+x^2+y^2},\frac{2y}{1+x^2+y^2},\frac{-1+x^2+y^2}{1+x^2+y^2})$ e $\varphi_2(x,y,z)=(\frac{x}{z+1},\frac{y}{z+1})$ si ha $(\varphi_1)^-1 \circ \varphi_2 (z)=(\frac{x}{x^2+y^2},\frac{x}{x^2+y^2})=\frac{z}{|z|^2}=1/ \bar z$. MA da come ho visto in altre parti il risultato dovrebbe essere $1/z$, cos è sbagliato?"
Credo che la questione sia molto piu' semplice e subdola, del perche' il risultato e' $1/z$ invece che $1/\bar z$.
In pratica uno e' il coniugato complesso dell'altro.
Il punto, secondo me, e' che la sfera $S^2\\{N}$ e la sfera $S^2\\{S}$ sono una ribaltata rispetto all'altra.
Prendiamo due osservatori: uno sta sul polo Nord della sfera $S^2\\{N}$
e l'altro sta sul polo Sud della sfera $S^2\\{S}$.
Il primo osservatore prende un punto $x+y$ sul piano complesso, e per l'altro osservatore il punto sara' $x-iy$, siccome i due osservatori sono agli antipodi e sono ribaltati, per cui vedono il piano complesso in modo ribaltato ed entrambi guardano l'asse $x$ positivo.
Entrambi sono d'accordo sulla $x$, ma la $y$ la vedono opposta, quindi viene fuori il complesso coniugato.
Detto in altre parole, la destra di uno e' la sinistra dell'altro, come allo specchio.
Secondo me il problema e' questo, bisogna mettersi d'accordo su questo punto.