integrale della guassiana calcolato tramite integrali complessi

[andreadel1988]

Mostrare che $\int_{-infty}^{+infty} e^(- \pi x^2)e^(2 \pi i x \mu) dx=e^(- \pi \mu^2)$ (usando l'analisi complessa).

Allora tramite manipolazioni algebriche si ottiene che $\int_{-infty}^{+infty} e^(- \pi x^2)e^(2 \pi i x \mu) dx=e^(- \pi \mu^2)/sqrt( \pi) \int_{-infty}^{+infty} e^(-(x-isqrt(\pi) \mu)^2) dx$, ora consideriamo la funzione complessa $f(z)=e^(-z^2)$ sappiamo che preso un rettangolo essa è olomorfa su di esso è quindi vale che:



ora in teoria da qui si dovrebbe ricavare che $\int_{-infty}^{+infty} e^(-(x-isqrt(\pi) \mu)^2) dx=sqrt( \pi)$, però ho provato a farlo e non riesco a calcolarlo... qualcuno mi sa dire?

[pilloeffe]

Ciao andreadel1988,

Mi pare lo stesso integrale già considerato in questo post.

Riporto per comodità l'equazione (8) qui di seguito:

\begin{equation*}
\boxed{\int_{-\infty}^{+\infty}e^{- a x^2 + ibx}\text{d}x = \sqrt{\frac{\pi}{a}}\:e^{- \frac{b^2}{4a}} \label{intGauss:I0(a,b)def}}
\end{equation*}
Nel caso particolare in cui $a = \pi $ e $b = 2 \pi \mu $ si ottiene proprio l'integrale che

$ \int_{-infty}^{+infty} e^(- \pi x^2)e^(2 \pi i x \mu) dx=e^(- \pi \mu^2) $