Esercizio trovare una forma esatta a partire da una non esatta

[andreadel1988]

Sia data la seguente forma $dx+zdy-ydz=0$, determinare $\mu!=0$ tale che $\mu(dx+zdy-ydz)=0$ sia esatta.

Affinchè sia esatta deve valere in particolare in questo caso che $(\del (\muz))/(del z)=-(\del (\muy))/(del y)$ (le altre uguaglianze sono banalmente verificate). Ma allora si deve avere $(\del \mu)/(del y)y+(\del \mu)/(del z)z=-2 \mu$. Ora da qui come posso ricavare $\mu$? Io intuitivamente ho pensato ad $1/(yz)$, ma cè un processo per determinarlo formalmente?.

[pilloeffe]

Ciao andreadel1988,

In generale una forma differenziale $\omega = P \text{d}x + Q \text{d}y + R \text{d}z $ è chiusa se $P_y = Q_x $, $P_z = R_x $, $Q_z = R_y $, cioè nel caso in esame $\mu \text{d}x+\mu z \text{d}y - \mu y \text{d}z $:

$(\del \mu)/(\del y) = (\del (\mu z))/(\del x) $

$(\del \mu)/(\del z) = (\del (-\mu y))/(\del x) $

$(\del (\mu z))/(\del z) = (\del (-\mu y))/(\del y) $

Quindi si ha:

$(\del \mu)/(\del y) = (\del \mu)/(\del x) z + \mu (\del z)/(\del x) = (\del \mu)/(\del x) z $

$(\del \mu)/(\del z) = (\del (-\mu y))/(\del x) = - (\del \mu)/(\del x) y - \mu (\del y)/(\del x) = - (\del \mu)/(\del x) y $

$(\del \mu)/(\del z) z + \mu = - (\del \mu)/(\del y) y - \mu $

In effetti dall'ultima si ottiene l'equazione seguente:

$(\del \mu)/(\del z) z + (\del \mu)/(\del y) y = - 2 \mu $

Si tratta di un'equazione differenziale lineare alle derivate parziali del primo ordine, che se non erro ha soluzione $\mu = \mu(x, y, z) = z/y^3 c(x) $ ove $c(x) $ è una funzione di $x$ differenziabile arbitraria.
Per determinarla facilmente osserverei che nell'equazione non compaiono derivate rispetto a $x$, quindi lasciando perdere $x$ (alla fine si potrà sempre moltiplicare la soluzione ottenuta per un'arbitraria funzione di $x$) ipotizzerei una soluzione prodotto del tipo $p(y, z) = y^m z^n $ che inserita nell'equazione differenziale porge l'equazione seguente:

$ ny^m z^n + m y^m z^n = - 2 y^m z^n $

$n + m = - 2 $

da cui in effetti è naturale scegliere $n = 1 $ e $m = - 3$ e quindi $\mu(x, y, z) = p(y, z) c(x) = z/y^3 c(x) $