Esercizio Serie di Laurent

[ravanello]

Ciao a tutti,
sottopongo questo esercizio che mi mette in difficoltà.
Devo esprimere in serie di Laurent, nell'intorno di $z=0$ e del punto infinito la seguente funzione:

$f(z)= sinz/(z(z^2+1)$

Nell'intorno di $z=0$ ho espresso $sinz$ come sviluppo in serie e $1/(z^2+1)$ come serie geometrica ottenendo:

$\sum_{n=0}^\infty\(-1)^n/((2n+1)!)*z^(2n+1)*\sum_{n=0}^\infty\(-1)^n*z^(2n-1)$

Ho applicato la formula di Cauchy per il prodotto tra serie ma mi risulta una serie che non riesco a gestire e che comunque è lontano dal risultato richiesto:

$\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^\n\(-1)^k/((2k+1)!)*z^(2k+1)*(-1)^(n-k)*z^(2(n-k)-1)$

Dove sbaglio? Avete qualche suggerimento?

E come potrei fare circa l'intorno del punto infinito con lo sviluppo di $sinz$? Ho provato esprimendo il seno complesso in termini esponenziali ma non mi sembra una buona strada....

Grazie a chi ha la pazienza di rispondermi!

[Quinzio]

Non sbagli, nel libro hanno semplicemente fatto in modo esplicito la convoluzione dei due polinomi.
Invece nel tuo risultato ti sei limitato alla moltiplicazione dei due polinomi.
Cioe:'

$(\sum_{n=0}^\infty x^n a_n) (\sum_{n=0}^\infty x^n b_n) = \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n x^n a_n b_{n-k}$

Inoltre se provi a calcolare esplicitamente i primi termini della serie di Laurent del tuo risultato e del libro, vedrai che ottieni gli stessi valori.

Poi c'e' da dire che il risultato del libro si puo' ancora semplificare con poco sforzo, e non so perche' non l'hanno fatto.

$ \sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^\n\(-1)^k/((2k+1)!)*z^(2k+1)*(-1)^(n-k)*z^(2(n-k)-1) =$

$ \sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^\n\(-1)^n/((2k+1)!)*z^(2n)$

[ravanello]

Ciao Quinzio,
grazie per la risposta.
Temo però di essermi spiegato male: la serie

$\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^\n\(-1)^k/((2k+1)!)*z^(2k+1)*(-1)^(n-k)*z^(2(n-k)-1)$

è quanto sono riuscito a ricavare, mentre il risultato richiesto è:

$\sum_{n,k=0}^\infty\(-1)^(n+k)/((2n+1)!)*z^(2n+2k)$

Credo di non riuscire a ricavarlo per un problema di indici (a me spariscono le k).

Per quanto riguarda l'intorno del punto infinito il risultato è:

$\sum_{n,k=0}^\infty\(-1)^(n+k)/((2n+1)!)*z^(2n-2k-2)$

Qui invece non riesco a capire come trattare $sinz$.
Grazie ancora.

[pilloeffe]

Ciao ravanello,

Nell'intorno di $z=0$ ho espresso $sin z$ come sviluppo in serie e $1/(z^2+1) $ come serie geometrica ottenendo:

$ \sum_{n=0}^\infty\(-1)^n/((2n+1)!)*z^(2n+1)*\sum_{n=0}^\infty\(-1)^n*z^(2n-1) $

Però ti conviene fare come hai scritto, quindi prima scrivere lo sviluppo in serie di $(sin z)/z = \sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n/((2n+1)!) z^{2n}$ poi lo sviluppo in serie di $1/(1 + z^2) = \sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n z^{2n}$ poi li moltiplichi fra loro osservando che $(-1)^n z^{2n} $ è comune ai due sviluppi in serie...

[megas_archon]

Perché stai contando in modo poco furbo.
\[\begin{align*}
\frac{\sin z}{z(z^2+1)} = \frac{\sin z}{z}\cdot \frac{1}{z^2+1} &= \left(\sum_{p\ge0} \frac{(-1)^p}{(2p+1)!}z^{2p}\right)\left(\sum_{q\ge0} (-1)^q z^{2q}\right)\\
&=\sum_{n\ge0}\left(\sum_{p+q=n} \frac{(-1)^p}{(2p+1)!}(-1)^q\right )z^{2n}\\
&=\sum_{n\ge0}\left((-1)^n\sum_{p=0}^n \frac{1}{(2p+1)!}\right )z^{2n}
\end{align*}\] che è la stessa cosa che hai scritto tu.