Calcolo del seguente integrale col teorema dei residui

[Darius00]

Ciao a tutti, preparandomi per l'esame di metodi e modelli matematici, mi sono imbattuto il questo integrale di cui non ho la più pallida idea di come risolvere:
$\int_{0}^{infty} 1/(x^(1/3)(4+x)) dx$

La richiesta è di risolverlo e di scrivere esplicitamente il percorso di integrazione.

Effettuando la sostituzione $x=z$ passo all'integrale:
$\oint_gamma 1/(z^(1/3)(4+z)) dx$

Le singolarità sono $z=0$ e $z=-4$ e sono polari.

Il percorso che ho scelto è ($R>r$):
$gamma_1(x)=xe^(i(3pi/2))$, $R>x>r$
$gamma_2(x)=xe^(i(pi/2))$, $r<x<R$
$gamma_r(theta)=re^(itheta)$, $pi/2<theta<3pi/2$
$gamma_R(theta)=Re^(itheta)$, $pi/2<theta<3pi/2$

Per il teorema dei residui so che:
$\oint_gamma 1/(z^(1/3)(4+z)) dx=2pii*Res_{z=-4}(1/(z^(1/3)(4+z)))$

Svolgendolo con il teorema della caratterizzazione dei poli di ordine m ottengo: $2pii*Res_{z=-4}(1/(z^(1/3)(4+z)))=(2pii)/(4^(1/3)e^(ipi))=-2^(1/3)pii$ (ho scelto l'unica radice che è all'interno del mio percorso di integrazione)

Penso che sia sbagliato in quanto è un risultato con parte reale nulla, mentre l'integrale che sto cercando lo ricavo proprio dalla parte reale di questo risultato...

Potreste illuminarmi gentilmente su cosa ho sbagliato?
Grazie mille in anticipo


P.S. Il risultato corretto dell'esercizio è $(2^(1/3)pi)/(3^(1/2))$.

[pilloeffe]

Ciao Darius00,

L'integrale proposto è già stato risolto, anche se con altri numeri, ad esempio qui oppure qui.
Riporto per completezza ciò che ti serve:

\begin{equation*} \boxed {\int_{0}^{+\infty} \dfrac{x^{p - 1}}{x^q + 1} \text{d}x = \dfrac{\frac{\pi}{q}}{\sin\big(p \frac{\pi}{q}\big)} \qquad q > p > 0} \end{equation*}
Naturalmente quel $4$ a denominatore del tuo integrale deve diventare un $1$, ma dovresti farcela con un semplice cambio di variabile...

[Darius00]

Ciao Darius00,

L'integrale proposto è già stato risolto, anche se con altri numeri, ad esempio qui oppure qui.
Riporto per completezza ciò che ti serve:

\begin{equation*} \boxed {\int_{0}^{+\infty} \dfrac{x^{p - 1}}{x^q + 1} \text{d}x = \dfrac{\frac{\pi}{q}}{\sin\big(p \frac{\pi}{q}\big)} \qquad q > p > 0} \end{equation*}
Naturalmente quel $4$ a denominatore del tuo integrale deve diventare un $1$, ma dovresti farcela con un semplice cambio di variabile...

Grazie per la risposta e per la formula, ho capito perfettamente che ha poco senso usare il teorema dei residui per svolgere questo integrale ma purtroppo è la consegna, quindi vorrei chiederti di avere un aiuto sul ragionamento da fare per applicarlo in questo caso.

Mi trovo in difficoltà con questo integrale, rispetto ad altri che ho sempre svolto, perché al denominatore ha una "x" elevata a una frazione anziché un intero e quindi non riesco a ricavarmi l'ordine del polo quando passo in campo complesso (ossia da x a z)...

[pilloeffe]

ho capito perfettamente che ha poco senso usare il teorema dei residui per svolgere questo integrale

No, temo che tu abbia capito male: quella formula che ti ho scritto nel mio post precedente deriva proprio dall'applicazione del Teorema dei residui...
Prendiamo l'integrale proposto e riscriviamolo con un opportuno cambiamento di variabile:

$ \int_0^{+\infty} (\text{d}x)/(x^(1/3)(x+4)) = \int_0^{+\infty} 1/(x^(1/3)(x/4+1)) \text{d}(x/4) = 1/ 4^{1/3} \int_0^{+\infty} 1/((x/4)^(1/3)(x/4+1)) \text{d}(x/4) = $
$ = 1/4^{1/3} \int_0^{+\infty} (\text{d}t)/(t^(1/3)(t+1)) $

Consideriamo solo l'ultimo integrale ed applichiamo la formula che ti ho scritto nel mio post precedente che si ottiene applicando il teorema dei residui, tanto per verificare la correttezza del risultato; poi applicheremo il teorema dei residui sul percorso "alla pacman" che puoi trovare in uno dei link del mio post precedente, così potrai renderti conto che si ottiene il medesimo risultato.

$ 1/4^{1/3} \int_0^{+\infty} (\text{d}t)/(t^{1/3}(t+1)) = 1/4^{1/3} \int_0^{+\infty} (t^{-1/3})/(t+1) \text{d}t $

Ovviamente quest'ultimo integrale si può risolvere con la formula che ti ho già scritto nel mio post precedente con $q = 1 > p = 2/3 > 0 $ e si ha:

$ 1/4^{1/3} \int_0^{+\infty} (t^{-1/3})/(t+1) \text{d}t = 1/4^{1/3} \cdot (\pi)/(sin((2\pi)/3)) = 1/4^{1/3} \cdot (2 \pi)/(\sqrt3) = (8^{1/3} \pi)/(4^{1/3}\sqrt3) = (2^{1/3}\pi)/3^{1/2}$

che corrisponde al risultato che hai scritto nell'OP.
Ora facciamo vedere che applicando il teorema dei residui ed integrando sul percorso che abbiamo citato si ottiene il medesimo risultato. Teniamo indicata la $p$ per comodità di scrittura e consideriamo l'integrale seguente:

$ \oint_gamma z^{p - 1}/(z + 1) \text{d}z $

All'interno del percorso la funzione integranda ha il solo polo $z = - 1 $. Il residuo nel polo semplice $z = - 1 = e^{i\pi} $ è il seguente:

$\lim_{z \to - 1} (z + 1) e^{i(p - 1)\pi}/(z + 1) = e^{i(p - 1)\pi}$

Quindi si ha:

$ \oint_gamma z^{p - 1}/(z + 1) \text{d}z = 2\pi i e^{i(p - 1)\pi} $

Esplicitando si ha:

$\int_r^R x^{p - 1}/(x + 1) \text{d}x + \int_0^{2\pi}\frac{(Re^{i\theta})^{p - 1} iR e^{i\theta} }{Re^{i\theta} + 1} \text{d}\theta + \int_R^r (x e^{2\pi i})^{p - 1}/(x e^{2\pi i} + 1) \text{d}x + \int_{2\pi}^0 \frac{(r e^{i\theta})^{p - 1} i r e^{i\theta} }{r e^{i\theta} + 1} \text{d}\theta = 2\pi i e^{i(p - 1)\pi} $

Facendo il $\lim_{r \to 0} $ ed il $\lim_{R \to +\infty} $ e notando che il secondo ed il quarto integrale tendono a zero, si ha:

$\int_0^{+\infty} x^{p - 1}/(x + 1) \text{d}x + \int_{+\infty}^0 (e^{2\pi i(p - 1)} x^{p - 1})/(x + 1) \text{d}x = 2\pi i e^{i(p - 1)\pi} $

ovvero

$(1 - e^{2\pi i(p - 1)}) \int_0^{+\infty} x^{p - 1}/(x + 1) \text{d}x = 2\pi i e^{i(p - 1)\pi} $

sicché si ha:

$ \int_0^{+\infty} x^{p - 1}/(x + 1) \text{d}x = (2\pi i e^{i(p - 1)\pi})/(1 - e^{2\pi i(p - 1)}) = (2\pi i)/(e^{i p \pi} - e^{- i p \pi}) = \pi/sin(p \pi) $

Quest'ultima scritta non è altro che la formula che ti ho già scritto nel mio post precedente nel caso particolare $q = 1 $

[Darius00]

Ti ringrazio profondamente per il tempo che hai dedicato nello scrivere questo post così dettagliatamente. Ora mi è tutto estremamente chiaro. Grazie ancora!