Serie di Laurent

[Boomerang]

non credo che basti dire che $z_0$ è un punto di olomorfismo per poter sviluppare in serie di Taylor nella corona circolare (qualora sia definita una corona circolare) ; credo che però sia sufficiente constatare che $f(z)$ non ha alcun punto singolare all'interno di tutta la regione circolare compresa fra $0<|z-z_0|<R$... ma potrebbe essere che mi sto sbagliando. Comunque se cosi fosse sarebbe chiarita anche la tua seconda domanda: infatti Gugo dice di accertarsi che il secondo polo non è nell'insieme...

[Oiram92]

non credo che basti dire che $z_0$ è un punto di olomorfismo per poter sviluppare in serie di Taylor nella corona circolare (qualora sia definita una corona circolare) ; credo che però sia sufficiente constatare che $f(z)$ non ha alcun punto singolare all'interno di tutta la regione circolare compresa fra $0<|z-z_0|<R$

Se ci fai caso stiamo dicendo la stessa cosa con parole diverse, se \(\displaystyle z_0=0 \) è un punto regolare per \(\displaystyle f(z) \) significa (implicitamente) che esso non è un punto di singolarità, di conseguenza possiamo dire:

Consideriamo (ad esempio) il disco bucato \(\displaystyle B_r(z_0) \) con \(\displaystyle 0 < |z| < 3 \), siamo sicuri che in esso non abbiamo nessun punto di singolarità, pertanto \(\displaystyle f(z) \) è olomorfa in tutto \(\displaystyle B_r(z_0) \). Allora possiamo sviluppare la \(\displaystyle f(z) \) in serie di potenze (supponendo di restare nel caso generale diciamo che sviluppiamo in serie di Laurent), ovvero :

\(\displaystyle f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n\;z^n \)

a questo punto va osservato che nel disco bucato scelto la \(\displaystyle f(z) \) è limitata, di conseguenza la serie converge totalmente in ogni compatto di \(\displaystyle B_r(z_0) \) quindi :

\(\displaystyle \exists M > 0 : |f(z)|\leq M\;\;\;\;\;\;\; in\;\;B_r(z_0)\)

se adesso andiamo a calcolare i coefficienti \(\displaystyle a_n \) con \(\displaystyle n<0 \) dello sviluppo tramite la prima formula integrale di Cauchy (e usando altre note proprietà) si vede che :

\(\displaystyle |a_n| \leq \frac{1}{2\pi}\; \int_{\Gamma_r} \left|\frac{f(z)}{z-z_0)^{n+1}}\right| dz \leq \frac{1}{2\pi}\;2\pi\;r\; \frac{M}{r^{n+1}} = M\;r^{-n} \)

e per \(\displaystyle r\to 0 \) si ha \(\displaystyle |a_n|\to 0 \) (per \(\displaystyle n<0\)) e questo non è altro che lo sviluppo di Taylor centrato in \(\displaystyle 0 \) (cioè lo sviluppo di MacLaurin di \(\displaystyle f(z) \)).

In sostanza ho seguito la dimostrazione del punto di singolarità eliminabile che si adatta perfettamente al caso proposto da te. Quindi, al limite, potremmo anche dire che un punto regolare può essere considerato come una singolarità fittizia (eliminabile) ma forse quest'ultima frase è un pò troppo "forzata"

[Boomerang]

Quindi se avessimo un punto singolare (per es. un polo di ordine n) completamente interno alla regione delimitata dalla corona circolare sarebbe stato lecito sviluppare in serie di Laurent dividendo la corona in più sottoregioni circolari in maniera da escludere il suddetto polo e distinguere tra zone in cui vale la serie a termini negativi (in praticolare quando $r=|z'-z_0|<|z-z_0|$) e zone in cui vale lo sviluppo di Taylor ($|z-z_0|<|z'-z_0|=R$), per poi riunificare i risultati?

[Oiram92]

sinceramente non mi sono mai posto la questione di sviluppare in serie una funzione attorno ad un punto regolare proprio per il fatto che essendo regolare non ci da nessun problema nell'analisi. Lo sviluppo in serie di Laurent è un utile strumento per vedere come si comporta la funzione in esame in un intorno di un suo punto di singolarità. Ad esempio, se sviluppiamo intorno ad un punto regolare abbiamo visto che la funzione è regolare/limitata (e questo era prevedibile), in modo analogo se sviluppiamo nell'intorno di un punto di singolarità eliminabile. Quando sviluppiamo nell'intorno di un polo \(\displaystyle z_0 \) di ordine n sappiamo che la funzione diverge per \(\displaystyle z \to z_0 \) mentre la funzione \(\displaystyle g(z) = (z-z_0)^m\;f(z) \) è convergente per \(\displaystyle z\to z_0 \) e quindi anche in tal caso sappiamo che la \(\displaystyle g(z) \) è limitata. Infine se \(\displaystyle z_0 \) è un punto di singolarità essenziale, effettuando lo sviluppo di serie di Laurent otteniamo una serie con infiniti termini ad esponente negativo, e questo ci indica il fatto che nell'intorno di questa singolarità la funzione è estremamente irregolare. A prova di questo c'è il teorema di Picard il quale ci dice che "In ogni intorno di una singolarità essenziale una funzione assume come valori tutti i numeri complessi con al più un'unica eccezione". E questo a sottolineare il fatto che la funzione è irregolare.

[Boomerang]

io mi riferivo a questa domanda

se invece la corona circolare avesse "inglobato" al suo interno uno o più punti di singolarità cosa sarebbe accaduto? Pensando ad alta voce, credo che in tal caso si sarebbe persa la condizione di olomorfia nella corona e quindi non sarebbe stato possibile sviluppare la funzione come serie di potenze (serie di Laurent), è possibile?

[Oiram92]

Ah, non avevo capito..comunque avendo posto io la domanda non saprei rispondere perchè il mio dubbio è proprio quello. A prima vista quello che hai detto non mi sembra possibile però non escludo niente a priori solo perchè intuitivamente mi sembra così..dovremmo aspettare gugo (o qualcun altro) e vedere se riesce a chiarire il dubbio

[Boomerang]

Non ti chiedo di spiegarmi il motivo per cui pensi che il mio ragionamento non sia applicabile perchè non voglio importunarti . Speriamo in una risposta! In ogni caso grazie per il tuo contributo

[Oiram92]

Macchè non mi importuni affatto, più che altro è che essendo anche io uno studente che sta preparando l'esame di metodi matematici ancora non mi sento una "cima" a riguardo quindi potrei anche sbagliare..

Per quanto riguarda la tua domanda, mi sembra che non sia possibile perchè se prendiamo ad esempio :

\(\displaystyle f(z) = \frac{1}{z(z-1)} \)

che ha due poli semplici in \(\displaystyle 0,1 \) e supponiamo di voler sviluppare nell'intorno di \(\displaystyle z_0=0 \) nel disco bucato \(\displaystyle 0<|z|<2 \), che include al suo interno il polo semplice in \(\displaystyle 1 \). Il teorema di Laurent ci dice che è possibile rappresentare la funzione \(\displaystyle f(z) \) in serie di Laurent in un intorno bucato di \(\displaystyle z_0 \) in cui \(\displaystyle f(z) \) è olomorfa. Ma nell'intorno bucato scelto la \(\displaystyle f(z) \) non è olomorfa ovunque perchè \(\displaystyle z=1 \) (incluso nella corona) è un punto di singolarità di tipo polo. Ipotizziamo per assurdo che lo sviluppo sia possibile, allora (siccome stiamo sviluppando nell'intorno di un polo di ordine \(\displaystyle 1 \) ci aspettiamo che :

\(\displaystyle f(z) = a_{-1} z^{-1} + \sum_{n=0}^{\infty} a_n\;z^n \)

dove la prima parte è l'unico termine con esponente negativo e la seconda parte è lo sviluppo in serie di Taylor di \(\displaystyle f(z) \).

Se adesso consideriamo la corona iniziale come somma delle due corone circolari :

corone circolari

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In entrambe le corone il punto \(\displaystyle z=1 \) sta sulla frontiera quindi \(\displaystyle f(z) \) è olomorfa in tutto l'intorno bucato. Di conseguenza, in tal caso è realmente possibile effettuare lo sviluppo in serie di Laurent intorno al polo in \(\displaystyle z=0 \) . Consideriamo quindi :

\(\displaystyle f(z) = h(z) + g(z) \)

dove \(\displaystyle h(z) \) è lo sviluppo in serie di Laurent sulla prima corona circolare e \(\displaystyle g(z) \) sulla seconda, ovvero :

\(\displaystyle h(z) = - \frac{1}{z} \sum_{n=0}^{\infty} z^n = - \sum_{n=0}^{\infty} z^{n-1} = g(z)\)

quindi dovrebbe essere :

\(\displaystyle f(z) = -2\;z^{-1} + \sum_{n=0}^{\infty} (-2)\;z^n \)

A questo punto si nota che affinchè le due espressioni sia uguali è necessario che la successione \(\displaystyle a_n \) sia la successione costante \(\displaystyle -2 \). Quindi, per il teorema di Laurent :

\(\displaystyle a_n = \frac{1}{2\pi\;i}\;\int_{\gamma_r} \frac{1}{z^{n+2}(z-1)} dz = -2 \)

dove \(\displaystyle \gamma_r \) è una generica curva interna al disco \(\displaystyle 0<|z|<2 \). Se supponiamo che la generica curva \(\displaystyle \gamma_r \) abbia raggio \(\displaystyle r \leq 1 \) stiamo di fatto calcolando i termini dello sviluppo in serie di Laurent in \(\displaystyle 0<|z|<1 \) che come abbiamo appena visto sono i termini costanti \(\displaystyle -1 \neq -2\) quindi questo è un assurdo.

Se invece supponiamo \(\displaystyle 1 < r < 2 \), risolvendo l'integrale con il teorema dei residui, usando come dominio di integrazione il disco bucato di centro \(\displaystyle z_0=0 \) e raggio \(\displaystyle r \) allora l'unico punto di singolarità interno al dominio di integrazione è il punto \(\displaystyle z=1 \) che è un polo semplice quindi :

\(\displaystyle Res(f(z),1) = \lim_{z\to 1} (z-1) \frac{1}{z^{n+2}(z-1)} = 1 \)

e di conseguenza avremmo :

\(\displaystyle a_n = \frac{1}{2\pi\;i} \; 2 \pi\;i = 1 \neq -2 \)

e anche qui siamo giunti ad un assurdo. Allora, se non ho scritto un mucchio di cavolate, non è possibile spezzettare la corona come dicevi inizialmente. Se questo è corretto allora forse mi sono anche risposto da solo alla domanda riguardo a cosa succede se volessimo sviluppare una funzione in serie di Laurent in un intorno bucato in cui sono presenti uno o più punti di singolarità..semplicemente non è possibile sviluppare perchè si perde la condizione di olomorfia.

Spero che gugo passi di qua a controllare e magari mi bacchetta un pò per le porcherie che ho scritto

[Boomerang]

A questo punto si nota che affinchè le due espressioni sia uguali è necessario che la successione \(\displaystyle a_n \) sia la successione costante \(\displaystyle -2 \).

Questo passaggio non l'ho capito molto bene. Perchè le due espressioni dovrebbero essere uguali? Il -2 sarebbe dovuto quindi alla loro somma?
Sicuramente io devo acquisire più esperienza con la materia e quindi apprezzo il tuo sforzo e ti ringrazio, sebbene, per adesso, non riesco ad afferrarne a pieno la consequenzialità logica, in particolare per il passaggio sopra riportato;
quindi sbagliato o giusto che sia il tuo procedimento mi aiuta a vedere le cose anche da un altro punto di vista.


Ad ogni modo credo che la tua serie non sia molto corretta.
A me risulta che $f(z)=1/z-sum_(n=0)^(oo) (-1)^(n)z^n, |z|<1$ mentre $f(z)=1/z-sum_(n=0)^(oo)(-1)^(n+1)z^-n, 1<|z|<2$ ma forse anche qui mi sto sbagliando . Aspettiamo con ansia la risposta di qualcuno più ferrato in materia.
P.S. se non ho interpretato male, quello che hai cercato di dirmi è che non possiamo avere una serie convergente di Laurent: il punto $z_0$ dello sviluppo è un punto di non olomorfismo per f, quindi scelta una qualunque corona circolare è impossibile ottenere $sum_(n=-oo)^(oo)a_nz^n=f(z)$ in quanto decade una condizione necessaria del teorema di Laurent: che la funzione sia analitica nel punto in cui si sviluppa (nonostante $f(z)$ è analitica in una corona $1<|z|<2$)?

[Oiram92]

Dunque, andiamo con ordine. Quello che ho tentato di dimostrare prima è riferito a questo :

Quindi se avessimo un punto singolare (per es. un polo di ordine n) completamente interno alla regione delimitata dalla corona circolare sarebbe stato lecito sviluppare in serie di Laurent dividendo la corona in più sottoregioni [...] per poi riunificare i risultati?

Quindi, considerando sempre una funzione :

\(\displaystyle f(z) = \frac{1}{z(z-1)} \)

quello che chiedi è se è possibile \(\displaystyle f(z) \) sviluppare in serie di Laurent in (per questo esempio) \(\displaystyle 0<|z|<2 \) suddividendo la corona circolare in due sottoregioni in modo da escludere il polo interno. In questo caso suddividiamo il disco bucato di centro \(\displaystyle z_0=0 \) e raggio \(\displaystyle r=2 \) nel disco bucato di centro \(\displaystyle z_0=0 \) e raggio \(\displaystyle r=1 \) (in modo tale che il polo in \(\displaystyle z=1 \) non dia fastidio) e nella corona circolare sempre centrata in \(\displaystyle z_0=0 \) con raggio interno \(\displaystyle r=1 \) e raggio esterno \(\displaystyle R=2 \).

Adesso per dare dei nomi chiamiamo \(\displaystyle h(z) \) lo sviluppo di Laurent in \(\displaystyle 0<|z|<1 \) e \(\displaystyle g(z) \) lo sviluppo di Laurent in \(\displaystyle 1<|z|<2 \). Quello che vogliamo verificare è se :

\(\displaystyle f(z) = h(z)+g(z) \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(*)\)

Come detto nel post precedente, \(\displaystyle f(z) \) in teoria non è sviluppabile in \(\displaystyle 0<|z|<2 \) perchè non è verificata la condizione di olomorfia. Ipotizzando per un attimo che tale condizione non sia necessaria potremmo sviluppare e sappiamo che quando sviluppiamo nell'intorno di un polo di ordine \(\displaystyle m=1 \) (infatti \(\displaystyle z_0=0 \) è un polo di ordine 1 per \(\displaystyle f(z) \)) allora lo sviluppo in serie di Laurent avrà \(\displaystyle m=1 \) termini con esponente negativo ed una parte che corrisponde allo sviluppo in serie di Taylor, cioè :

\(\displaystyle f(z) = a_{-1} z^{-1} + \sum_{n=0}^{\infty} a_n \;z^n \)

Adesso determiniamo lo sviluppo di \(\displaystyle h(z),g(z) \). Per quanto riguarda \(\displaystyle h(z) \) (che ricordo essere lo sviluppo di \(\displaystyle f(z) \) in \(\displaystyle 0<|z|<1 \)) equivale a :

\(\displaystyle h(z) = \frac{1}{z(z-1)} = \frac{1}{z} \cdot \left(-\frac{1}{1-z}\right) = -\frac{1}{z} \; \sum_{n=0}^{\infty} z^n = -\sum_{n=0}^{\infty} z^{n-1} \)

lo sviluppo con il termine oscillante \(\displaystyle (-1)^n \) si ha quando al denominatore abbiamo \(\displaystyle (1+z) \), in questo caso lo sviluppo che ho scritto è corretto.

Per quanto riguarda invece \(\displaystyle g(z) \) (che ricordo essere lo sviluppo di \(\displaystyle f(z) \) in \(\displaystyle 1<|z|<2 \)) hai parzialmente ragione perchè (in teoria) dovrebbe essere :

\(\displaystyle g(z) = \frac{1}{z(z-1)} = \frac{1}{z} \left( \frac{1}{z} \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{z}}\right) = \frac{1}{z^2} \;\sum_{n=0}^{\infty} z^{-n} = \sum_{n=0}^{\infty} z^{-n-2} \)

tuttavia già da qui si vede una sorta di assurdo perchè la serie ottenuta ha infiniti termini negativi quidi è come se stessimo espandendo in serie attorno ad una singolarità essenziale. In effetti mi chiedo anche quanto sia lecito espandere nell'intorno di un punto quando in realtà questo intorno non è così piccolo..Infatti stiamo espandendo "nell'intorno" di zero ma la distanza tra il centro e la frontiera dell'insieme non è un certo \(\displaystyle \delta \) piccolo a piacere, cioè in altre parole non stiamo espandendo in un intorno di \(\displaystyle z_0 \)..

Tralasciamo anche queste riflessioni e continuiamo..abbiamo trovato \(\displaystyle h(z),g(z) \) quindi ritornando alla \(\displaystyle (*) \) andiamo a sostituire cioè :

\(\displaystyle f(z) = h(z)+g(z) \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\rightarrow\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; a_{-1} z^{-1} + \sum_{n=0}^{\infty} a_n \;z^n = -\sum_{n=0}^{\infty} z^{n-1} + \sum_{n=0}^{\infty} z^{-n-2} \)

e si vede chiaramente che le due espressioni non sono uguali, infatti la prima ha un solo termine con esponente negativo mentre l'altra ne ha infiniti! Da questo si conclude (a mio parere) che non è possibile decomporre la corona in più sottoregioni. Inoltre, come abbiamo visto varie volte, la condizione di olomorfia nella corona non è trascurabile quindi quest'ultima deve essere scelta necessariamente in modo tale che \(\displaystyle f(z) \) sia olomorfa al suo interno (come nelle ipotesi del teorema) e non deve quindi avere altri punti di singolarità al suo interno. Se questo non viene verificato allora (secondo me) lo sviluppo non è possibile e (per me) questo ha senso altrimenti non ci sarebbe l'ipotesi di olomorfia nella corona nel teorema di Laurent.