Hai ragione su tutto:
1) ho fatto confusione fra$1/(z+1)$ e $1/(z-1)$
2) Lo sviluppo di Laurent non è possibile in questo caso perché le condizioni del teorema non sono rispettate.
In effetti il teorema ci dice che è possibile sviluppare solo nel caso in cui $f(z)$ è olomorfa in una regione a corona circolare compresa fra $r<|z-z_0|<R$ eccetto al più $z_0$. Quindi credo che lo sviluppo tra $1<|z|<2$ dia infiniti termini negativi perché $z_0$ non è più l'unica singolarità isolata per la funzione. Di conseguenza, avendo due singolarità nell'intorno bucato, si avrà una situazione paragonabile ad una singolarità essenziale...