La cosa migliore è figurarsi per un attimo \( \displaystyle H=\ell^2 (\mathbb{Z} ) \) ed \( \displaystyle e^n=(\delta_k^n) \) (qui \( \displaystyle e^n \) è uno dei vettori che tu denoti con \( \displaystyle e_n \) ; uso l'apice al posto del pedice perchè metto in basso l'indice \( \displaystyle k \) del termine della successione), sicché ogni \( \displaystyle a=(a_k) \in \ell^2 (\mathbb{Z} ) \) si scrive in unico modo come \( \displaystyle \sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k\ e^k \) .
*
Nel seguito uso \( \displaystyle \ell^2 \) al posto di \( \displaystyle \ell^2 (\mathbb{Z}) \) .
Il tuo operatore \( \displaystyle T \) come agisce sul generico elemento \( \displaystyle a \in \ell^2 \) ?
Usando la linearità e la continuità trovi:
\( \displaystyle Ta =T\left( \sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k\ e^k\right) \)
\( \displaystyle =\sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k\ Te^k \)
\( \displaystyle =\sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k\ (e^{k-1} -e^k) \)
\( \displaystyle =\sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k\ e^{k-1} -\sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k\ e^k \)
\( \displaystyle =-a+\sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_{k+1}\ e^k \) ;
detti \( \displaystyle S:\ell^2 \ni a=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k\ e^k \mapsto \sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_{k+1}\ e^k \in \ell^2 \) l'operatore di
shift a sinistra** ed \( \displaystyle I:\ell^2 \ni a \mapsto a\in \ell^2 \) l'identità, il tuo operatore si scrive come \( \displaystyle T=S-I \) .
Per cercare gli autovalori e gli autovettori di \( \displaystyle T \) , devi stabilire se esistono valori del parametro \( \displaystyle \lambda \) tali che l'equazione:
\( \displaystyle Ta=\lambda a \)
abbia soluzioni \( \displaystyle a \) non banali; ciò equivale a dire che devi determinare \( \displaystyle \lambda \) in modo che l'equazione:
\( \displaystyle Sa=(\lambda +1) a \)
abbia soluzioni \( \displaystyle a \) non banali...
Pertanto, se già hai studiato il problema degli autovalori per lo shift a sinistra \( \displaystyle S \) sei a posto.
__________
* Ciò si può sempre fare per il teorema di Fischer-Riesz.
** Volendo rappresentare le cose con una matrice simbolica (con l'indice di posizione nella prima riga e la relativa "coordinata" nella seconda), l'operatore di shift a sinistra \( \displaystyle S \) opera come segue:
\( \displaystyle a=\begin{pmatrix} \ldots & -k & \ldots & -1 & 0 & 1 & \ldots & k &\ldots \\
\ldots & a_{-k} & \ldots & a_{-1} & a_0 & a_1 & \ldots & a_k &\ldots \end{pmatrix} \stackrel{S}{\mapsto}
\begin{pmatrix} \ldots & -k & \ldots & -1 & 0 & 1 & \ldots & k &\ldots \\
\ldots & a_{-k+1} & \ldots & a_0 & a_1 & a_2 & \ldots & a_{k+1} &\ldots \end{pmatrix}=Sa \) ;
si vede che le "coordinate" di \( \displaystyle a \) vengono spostate di un posto verso sinistra da \( \displaystyle S \) .
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)