Distribuzioni regolari e singolari

[Fab10Messi]

Ciao a tutti,
sto cercando di capire che cosa si intende per distribuzione singolare e regolare. Ho cercato di studiarlo dalle dispense e da wikipedia ma sembra che tutti diano la stessa definizione. Vorrei capire di cosa si tratta in termini pratici.
Partendo dal presupposto che una distribuzione altro non è che una combinazione algebrica di un funzionale, come faccio a capire in termini semplici cosa si intende per singolare e regolare? in cosa si distinguono? Grazie

[Fab10Messi]

Forse...
una distribuzione regolare prende in considerazione tutta la funzione che gli viene data in pasto (come un integrale su tutto il dominio di una funzione), mentre una distribuzione singolare tiene in considerazione solo di un intervallo ristretto del dominio della funzione (per esempio la distribuzione di dirac tiene conto solo del valore della funzione in 0 o nel punto di traslazione)

Può essere considerata una spiegazione corretta?

[ViciousGoblin]

Forse...
una distribuzione regolare prende in considerazione tutta la funzione che gli viene data in pasto (come un integrale su tutto il dominio di una funzione), mentre una distribuzione singolare tiene in considerazione solo di un intervallo ristretto del dominio della funzione (per esempio la distribuzione di dirac tiene conto solo del valore della funzione in 0 o nel punto di traslazione)

Può essere considerata una spiegazione corretta?

Credo che una distribuzione regolare sia una distribuzione rappresentabile come una funzione $f$ localmente integrabile, cioè un funzionale $F$ la cui azione sui test $\phi$ sia ottenuta
mediante l'integrale:
$F(\phi)= \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\phi(x)dx$ per ogni $\phi$
In questo modo la distribuzione $F$ si può "identificare" con la funzione $f$. Le distribuzioni per cui questo non è possibile (come la $delta$) sono quelle singolari.

[Fab10Messi]

in qualche modo la proprietà di localmente sommabile (o integrabile) indica l'impossibilità di tenere conto di tutto i dominio della funzione e quindi rende la funzione singolare. In qualche modo quello che ho scritto dovrebbe corrispondere, seppur in forma più semplificata, all'attributo di regolarità e singolarità di una distribuzione.

[ViciousGoblin]

in qualche modo la proprietà di localmente sommabile (o integrabile) indica l'impossibilità di tenere conto di tutto i dominio della funzione e quindi rende la funzione singolare. In qualche modo quello che ho scritto dovrebbe corrispondere, seppur in forma più semplificata, all'attributo di regolarità e singolarità di una distribuzione.

Non capisco bene ciò che intendi. In ogni caso i test $\phi$ sono delle funzioni regolari A SUPPORTO LIMITATO. Anche la $\delta$ è individuata da
$D(\phi):=\phi(0)$ dove $\phi$ è comunque nulla fuori da un intervallo e quindi, in qualche senso per ogni $\phi$ prefissata si considerano solo i punti di un intervallo.

A rovescio se prendi una funzione $f$ integrabile e nulla fuori da un intervallo (per esempio che valga $1$ tra $-1$ e $1$ e zero altrove) potresti considerare anche dei test che non abbiano supporto limitato ( avrebbe senso fare $\int_RRf(x)\phi(x) dx$ per ogni $\phi$ regolare (per esempio anche $\phi)x)=1$ ).

Mi pare che l'idea che hai tu corrisponda alla distribuzioni a supporto compatto (la delta in effetti è nulla su $RR\setminus{0}$. Pensaci un po'

[Fab10Messi]

Scusa ma questo è un argomento le cui basi matematiche non sono state approfondite nella mia facoltà quindi mi trovo a dover studiare senza gli strumenti sufficienti.
Detto questo non riesco ancora a capire cosa si intenda per distribuzione regolare e singolare e ti invito ad illustrarmi il concetto in modo più chiaro e meno matematico tenendo conto chi hai di fronte. Una distribuzione che tiene conto di tutto il dominio della funzione che gli viene passata mi sembra venga associata a "distribuzione regolare". Viceversa se non tiene conto di tutto il suo dominio oppure è "costretta" a saltare qualche punto (ad esempio di non derivazione\integrazione ecc) diventa singolare. Più di questo non riesco ad elaborare :=)

[ViciousGoblin]

Scusa ma questo è un argomento le cui basi matematiche non sono state approfondite nella mia facoltà quindi mi trovo a dover studiare senza gli strumenti sufficienti.
Detto questo non riesco ancora a capire cosa si intenda per distribuzione regolare e singolare e ti invito ad illustrarmi il concetto in modo più chiaro e meno matematico tenendo conto chi hai di fronte. Una distribuzione che tiene conto di tutto il dominio della funzione che gli viene passata mi sembra venga associata a "distribuzione regolare". Viceversa se non tiene conto di tutto il suo dominio oppure è "costretta" a saltare qualche punto (ad esempio di non derivazione\integrazione ecc) diventa singolare. Più di questo non riesco ad elaborare :=)

Scusami tu - non avevo capito bene quale fosse il tuo "background". Ho comunque l'impressione che tu sia fuori strada con la tua idea. Per quello che so io le distribuzioni regolari sono le
"vecchie" funzioni che hai studiato all'inizio dei tempi (con qualche precisazione).

Però per capirci bisognerebbe che tu dicessi come ti sono state definite le distribuzioni e poi che definizione hai di distribuzione regolare/singolare.
Io davo per scontato che le distribuzioni fossero i funzionali sullo spazio dei test (test = le funzioni regolari nulle fuori da un intervallo). Se questo ti torna
dovresti prima di tutto cercare di capire in che senso una distribuzione rappresenti una funzione (per esempio la funzione $f(x)=x$, che distribuzione è ?).
Dopo di che riprendiamo il discorso.

Ciao

[Fab10Messi]

Si parte dal fatto che un funzionale è una funzione che riceve come argomento un'altra funzione e ne estrae un valore. Quindi l'idea che mi faccio di un funzionale è associata a questi esempi:
max(f(x)) che estrae il valore massimo che può assumere la funzione
integrale(f(x)) che estrae l'area della funzione
ecc...

Un funzionale lineare e continuo è detto "distribuzione". Sostanzialmente è una funzionale che può essere espresso come combinazione lineare.
Detto questo assumo banalmente come mia idea di riferimento per la distribuzione, un banale integrale che segue le proprietà di linearità e continuità.

Non ho alcuna definizione di regolare e singolare se non quella da te citata con l'integrale tra x(t) e fi(t) che tuttora rimane incomprensibile :)

[ViciousGoblin]

Direi che sei piuttosto lontano dalla nozione di distribuzione. Io provo a darti la definizione standard cercando di spiegarti l'idea che sta sotto - ma la questione non e' semplicissima.

Prima di tutto conveniamo si chiamare "test" una funzione regolare (cioè che si possa derivare infinite volte) e nulla fuori da un intervallo. Nota che l'insieme dei test e' uno spazio lineare
(combinazione lineare di funzioni regolari a supporto limitato è ancora regolare e a supporto limitato).

A questo punto prendiamo una qualunque funzione $f(x)$ localmente integrabile (per esempio $f(x)=x$ o $f(x)$ la funzione di Heavyside, ma non $f(x)=1/x$ perché questa non è integrabile vicino a zero). A tale $f$ è associato un "funzionale" $F$ che opera sui test nel seguente modo
(*) $F(\phi):=\int_RR f(x)\phi(x) dx$ per ogni $\phi$
Nota che l'integrale scritto sopra ha senso per ogni test dato che, a $\phi$ fissata l'integrale considera solo le $x$ del supporto di $\phi$ e quindi è in realtà fatto su un intervallo limitato.
Dunque $F$ calcolato su un test ti restituisce un numero e si ha $\F(alpha\phi_1+\beta\phi_2)=\alpha F(\phi1)+\beta f(\phi_2)$ (quindi $F$ è lineare).
Con questa costruzione abbiamo associato a ogni funzione $f$ un funzionale lineare $F$ definito sui test.

Secondo me (ci sono arrivato dopo molte riflessioni) puoi pensare che ad ogni test $\phi$ sia associata una "misurazione" della funzione $f$ fatta come in (*) . Pensa che $f(x)$ sia una temperatura: è ragionevole pensare che nessun termometro possa individuare esattamente il valore di $f$ in un punto $x$, ma che si possano trovare solo delle "medie" attorno a $x$;
allora ogni $\phi$ è un termometro che è tanto più accurato quanto più il supporto di $\phi$ è concentrato vicino al punto $x$. Se vedi le cose da questo punto di vista è abbastanza ragionevole
ritenere che noi non conosciamo $f(x)$ ma solo $\int_RR f(x)\phi(x) dx$ per ogni $\phi$ (ammettendo di avere termometri "precisi quanto si vuole").
Questo è consistente con il seguente fatto matematico:

se $\int_RR f(x)\phi(x) dx=\int_RR g(x)\phi(x) dx$ per ogni test $\phi$ allora $f(x)=g(x)$ [andrebbe detto quasi ovunque, ma ....]

che dice che la conoscenza di tutti gli integrali $\int_RR f(x)\phi(x) dx$ individua univocamente $f(x)$.

Possiamo a questo punto chiederci se per ogni funzionale $F$ lineare sui test esista una funzione $f$ che "rappresenta" $F$ come in (*). La risposta è NO, come si vede
prendendo il funzionale $D$ definito da

$D(\phi)=\phi(0)$

Dato che si può dimostrare matematicamente che per nessuna funzione $f(x)$ si può avere $\int_RR f(x)\phi(x) dx=\phi(0)$ per ogni $\phi$, si ricava che $D$ non è "fabbricato a partire
da una funzione". Dunque per ogni funzione $f$ c'è un funzionale $F$ che lavora come in (*), ma non è vero il viceversa.

Si definiscono allora le distribuzioni come tutti i funzionali lineari sui test. Le distribuzioni contengono le funzioni, identificando le $f(x)$ con i corrispondenti $F$ di (*), ma c'è (molto)
altro. Per esempio la $\delta$ di Dirac è quella distribuzione di temperatura che misurata con il termometro $\phi$ mi dà la misura $\phi(0)$ - da questo segue che $\delta$ è nulla
fuori di zero (ma ha energia pari a uno cosa che è incompatibile col fatto che sia una funzione).


Mi fermo qui - se quanto ho scritto sopra ti torna possiamo riprendere il discorso su distribuzioni regolari/singolari (che io credo corrispondere a funzioni/non funzioni); magari a quel punto mi dici anche come ti è stata introdotta tale distinzione.


PS Sopra ho scritto sempre "lineare" e basta. Avrei dovuto scrivere "lineare e continuo" ma la cosa è ancora più delicata da spiegare per cui ho omesso la dicitura.

[ViciousGoblin]

Si parte dal fatto che un funzionale è una funzione che riceve come argomento un'altra funzione e ne estrae un valore. Quindi l'idea che mi faccio di un funzionale è associata a questi esempi:
max(f(x)) che estrae il valore massimo che può assumere la funzione
integrale(f(x)) che estrae l'area della funzione
ecc...

Un funzionale lineare e continuo è detto "distribuzione". Sostanzialmente è una funzionale che può essere espresso come combinazione lineare.
Detto questo assumo banalmente come mia idea di riferimento per la distribuzione, un banale integrale che segue le proprietà di linearità e continuità.

Non ho alcuna definizione di regolare e singolare se non quella da te citata con l'integrale tra x(t) e fi(t) che tuttora rimane incomprensibile

Aggiungo qualche commento partendo dal tuo messaggio.

Il funzionale $F(\phi):=\max\phi(x)$ (che "estrae il valore massimo che può assumere la funzione") non è lineare e quindi non è una distribuzione.
Il funzionale $F(\phi):=\int_RR\phi(x)dx$ (che "che estrae l'area della funzione") è lineare, dunque è una distribuzione. Che distribuzione è ?. Dato che
$F(\phi)=\int_RR 1\ \phi(x) dx$ tale distribuzione "rappresenta" la funzione $f(x)=1$.

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