da lupo grigio » 13/06/2003, 14:17
Dal momento che l’amico goblyn mi ha gentilmente tirato in ballo sono obbligato a dire la mia…
Limitandoci al solo caso di una matrice composta di n^2 elementi disposti su n righe ed n colonne, che chiameremo A(n,n). Non specifichiamo la natura degli elementi che la compongono [possono essere numeri reali o complessi, funzioni, operatori o altro…] quanto il fatto che per essi valgono le operazioni di somma e prodotto. Ogni elemento della matrice è <u>uno scalare</u> che indichiamo con la denominazione ai,j con i e j indipendenti che possono valere 1,2,…,n. Ogni riga [ o colonna] di A(n,n) è <u>un vettore</u> di dimensione n [composto cioè di n scalari…].
Ciò premesso voglio prescindere dalla definizione di determinate di A(n,n) [che suppongo a tutti voi nota] per cercare di darne il ‘significato rappresentativo’, come richiesto da pick. Per far questo premettiamo da prima la definizione di un insieme di vettori <u>linearmente indipendenti</u>…
Supponiamo di avere n vettori <u>ri</u> con i=1,2,…,n, ciascuno di dimensione n. Tali vettori si dicono <u>linearmente indipendenti</u> se la relazione…
a1*<u>r1</u> + a2*<u>r2</u> + … + an*<u>rn</u> = <u>0</u> [1]
... vale solamente per a1=a2=…=an=0.
Venendo ora al significato del determinante di una matrice A(n,n), se indichiamo con <u>ri</u> i=1,2,…,n i <u>vettori riga</u> di essa, si può dimostrare che <u>condizione necessaria e sufficiente affinchè essi costituiscano in insieme di vettori linearmente indipendenti è che il determinante di A(n,n) sia diverso da 0</u>.
Le applicazioni di questo teorema del tutto generale sono numerosissime ed è impossibile accenare a tutte. La più nota riguarda i sistemi lineari ossia sistemi posti nella forma…
A(n,n) * <u>x</u> = <u>b</u> [2]
Un noto teorema afferma che il sistema [2] ammette una e una sola soluzione se se solo se il determinate di A (n,n) è diverso da 0, ossia se le righe della matrice A(n,n) sono linearmente indipendenti. In tal caso il sistema e la matrice si dicono <u>regolari</u>. Se viceversa il determinante è nullo allora il sistema [2] può non ammettere soluzioni ovvero ammetterne infinite, e in questo caso il sistema e la matrice si dicono <u>singolari</u>.
Nella pratica spesso ci si imbatte il sistemi di equazioni lineari. Una buona norma per evitare ‘sorprese’ è quella, prima di risolverlo con uno dei numerosi metodi disponibili, di verificare che esso non sia singolare calcolando il determinante di A(n,n). Certo costa tempo e fatica per cui…
E’ ovvio che ci sarebbe una infinità di altre cose da dire… per il momento ci fermiamo qui…
cordiali saluti!…
lupo grigio
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Modificato da - lupo grigio il 13/06/2003 15:53:51