Esercizio Probabilità Condizionata

[Dust]

Ciao, ho appena iniziato il corso di Mate C e ho qualche difficoltà con l'approccio al calcolo della probabilità.
C'è un esercizio, che sebbene credo sia banale visto che è tra i primi del capitolo sulla "probabilità condizionata e indipendenza", che non riesco a fare e gradirei un aiuto.

Si considerano 3 urne. L'urna A contiene 2 palline bianche e 3 rosse, l'urna B contiene 8 palline bianche e 4 rosse, l'urna C contiene 1 pallina bianca e 3 rosse. Scegliendo una pallina da ogni urna, qual'è la probabilità che la pallina estratta da A fosse bianca, sapendo di avere estratto esattamente 2 palline bianche?

Grazie

[MaMo]

Si tratta di probabilità a posteriori quindi si deve utilizzare il teorema di Bayes.
Io ho trovato una probabilità del 70%.

[codino75]

scrivo a memoria e non ho pretese di verita' assoluta (sono un po' arrugginito sulla probabilita', ma spero di darti qlke spunto).
credo tu debba applicare il teorema di bayes:
cioe'
P(E)=P(E|M)P(M)
dove ne nostro caso
M e' l'evento di scegliere esattamente 2 palline bianche nel fenomeno osservato (estrazione di 3 palline)
E e' l'evento di scegliere la pallina bianca nell'estrazione dall'urna A.

la probabilita' richiesta e' P(E|M)


spero utile

[Dust]

Si tratta di probabilità a posteriori quindi si deve utilizzare il teorema di Bayes.
Io ho trovato una probabilità del 70%.

E' quello che ho trovato anch'io, ma la soluzione è $7/11$

P(E)=P(E|M)P(M)
dove ne nostro caso
M e' l'evento di scegliere esattamente 2 palline bianche nel fenomeno osservato (estrazione di 3 palline)
E e' l'evento di scegliere la pallina bianca nell'estrazione dall'urna A.

la probabilita' richiesta e' P(E|M)

Se è come dici tu $P[E]=2/5$, per trovare $P[M]$ credo(e ribadisco credo) si possa procedere così: considerare tutti i modi di estrarre 2 palline bianche dalle 3 urne e la 3° rossa: BBR, BRB, RBB per cui $P[M]=(2/5)*(8/12)*(3/4)+(2/5)*(4/12)*(1/4)+(3/5)*(8/12)*(1/4)$. E' esatta $P[M]$?

Ad ogni modo devo contraddirti riguardo alla formula che hai scritto, perchè non è la formula di Bayes, o almeno, a me non lo sembra..

Ciao

[Tipper]

La formula esatta sarebbe $P(E \cap M) = P(E|M) P(M)$.

[luca.barletta]

Confermo 7/10

[Dust]

Confermo 7/10

Quindi era un errore sul libro.. Va bene. Grazie!

[Dust]

Ho un altro esercizio che non riesco a svolgere:

Una gravidanza extrauterina si può sviluppare $2$ volte più facilmente se la donna incinta è fumatrice piuttosto che una non fumatrice. Se il $32%$ delle donne in età fertile sono fumatrici, quale percentuale di donne ce sviluppano una gravidanza extrauterina sono delle fumatrici?

Vi chiedo di aiutarmi perchè non riesco a capire come impostare il problema.. O meglio ho provato ma mi sembra sempre che mi mancano dei dati per risolverlo..

GRazie. Ciao

[elgiovo]

Devi applicare un'altra volta il teorema di Bayes, come in tutti i casi in cui si chiede la probabilità che un certo evento derivi da una certa fonte.

[Dust]

Devi applicare un'altra volta il teorema di Bayes, come in tutti i casi in cui si chiede la probabilità che un certo evento derivi da una certa fonte.

Si, questo lo so, solo che non riesco a ricavare i dati dal problema, o meglio, mi sembra di non riuscire a ricavarli tutti...

Ad esempio in questo esercizio: individuo gli eventi
$F={$Donne fumatrici$}$, $P[F]=32%$, $P[F^C]=68%$
$E={$Sviluppo gravidanza extrauterina$}$ e come informazione so che $P[E|F]=2P[E|F^C]$
Ora non riesco a capire bene la richiesta del problema; vuole sapere la $P[F|E]$ oppure la $P[EcapF]$?

edit: ho trovato il modo e viene giusto:
$P[F|E]=(P[E|F]*P[F])/(P[E|F]*P[F]+P[E|F^C]*P[F^C])=(P[E|F]*P[F])/(P[E|F]*P[F]+(P[E|F])/2*P[F^C])=(P[E|F])/(P[E|F])(P[F])/(P[F]+(P[F^C])/2)=0.4848$


Ciao