"Siano dati una circonferenza C e un punto P distinto dal centro. Sia PAB un triangolo che, tra tutti quelli che hanno un vertice in P e i rimanenti due su C, abbia perimetro massimo. Dimostrare che le due bisettrici uscenti dai vertici A e B passano per il centro di C"
Questo è il testo del problema. Io ho provato a risolvere questa dimostrazione e, in particolare, sono partita dalla fine, per cercare di capire che tipo di triangolo è. Innanzitutto, se due bisettrici di un triangolo passano per un punto, questo punto è l'incentro e per esso passerà anche la terza bisettrice. In questo caso, il punto in questione è il centro della circonferenza C.
Poichè $r$ ed $s$ (le ho chiamate così) sono le bisettrici in $A$ e in $B$, $hat(BAO)=hat(OAP)$ e $hat(PBO)=hat(OBA)$. Poiché $AO=OB$, in quanto raggi della stessa circonferenza, AOB è isoscele e $hat(OAB)=hat(OBA)$. Ciò implica che $hat(OAB)=hat(OBA)=hat(OBP)=hat(OAP)$. Essendo l'angolo in $hat(A)=hat(BAO)+hat(OAP)$ e l'angolo in $hat(B)=hat(PBO)+hat(OBA)$, allora $hat(BAP)=hat(PBA)$. Cioè, il triangolo ABP è isoscele.
Tutto questo mi porta a dire che il triangolo descritto dal testo del problema, cioè il triangolo le cui bisettrici passano per il centro della circonferenza C..., è un triangolo isoscele, avente per base una corda della circonferenza (escluso il diametro). Ma tale triangolo PAB doveva essere costruito a partire dal perimetro..
Come faccio a dimostrare che il triangolo PAB avente un vertice in P e i rimanenti due sulla circonferenza avente perimetro massimo, è un triangolo isoscele che ha come base una corda della circonferenza? Perché, una volta dimostrato ciò, posso fare la dimostrazione richiesta esattamente all'incontrario di quella che ho fatto finora, sempre che tutto ciò che ho detto finora sia giusto... GRAZIE!