Le equazioni di primo grado in due incognite ammettono infinite soluzioni che, nel piano, graficamente rappresentano da una retta.
Le equazioni di secondo grado in due incognite sono un po' più complicate, alcune non ammettono soluzioni reali come $x^2+xy+y^2+4=0$, altre ammettono solo una soluzione $x^2+y^2=0$, altre sono semplicemente delle rette cammuffate come $x^2+4xy+4y^2-9=0$ che non è altro che il prodotto tra due rette $(x+2y+3)*(x+2y-3)=0$.
Le equazioni di secondo grado in due incognite hanno come equazione generale $ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$ e si chiamano coniche, quelle che ho descritto sopra sono delle coniche degeneri, le altre coniche sono parabola, iperbole, ellisse e circonferenza che è un caso particolare di ellisse.
Nel sito trovi diverse cose dedicate alle coniche, compresa una bella animazione sul come ottenerle tramite le sezioni di un cono
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