Nota: Il seguente esercizio è da risolvere senza usare il teorema di decomposizione ai valori singolari.
Testo: Sia $A$ un operatore su uno spazio vettoriale complesso a dimensione finita. Dimostrare che esistono unici $P$ e $U$ tali che $P \geq 0$, $U$ è unitario e $A = UP$. (Hint: considerare $P = \sqrt{A^C A}$, dove $A^C$ è l'operatore aggiunto di $A$ [non sapevo come indicarlo]).
Quello che son riuscito a fare: siccome $A^C A \geq 0$, allora esiste una sola radice $P = \sqrt{A^C A}$ tale che $P \geq 0$. Per ogni $y$ nell'immagine di $P$ tale che $y = Px$ definisco $Uy = Ax$. Ottengo:
$ ||y||^2 = < y, y > = < Px, Px > = < P^C Px,x > = < A^C Ax,x > = < Ax , Ax > = < Uy, Uy > = ||Uy||^2 $
Quindi $U$ è un isometria ed è unitario. A voi: come posso estendere a tutto lo spazio??
Grazie per l'aiuto