da elgiovo » 11/04/2009, 18:27
Il procedimento che conosco per individuare i modi in uscita (tramite approccio nel dominio $ccZ$) è il seguente:
- con due conti, si trova che $A^k=ccZ^(-1)[z(zI-A)^(-1)]$
- hai che $z(zI-A)^(-1)= z ("adj"(zI-A))/(det(zI-A))$
- il polinomio caratteristico di $A$ è $det(zI-A)=prod_(i=1)^r (z- lambda_i)^(n_i)$ dove $r$ è il numero di autovalori distinti e $n_i$ è la molteplicità algebrica di ciascuno.
- il polinomio minimo del sistema è il minimo comune multiplo dei polinomi a denominatore di $z(zI-A)^(-1)$, e può scriversi come $m(z)=prod_(i=1)^r (z-lambda_i)^(m_i)$. In generale $m_i<= n_i$, perchè possono esserci cancellazioni con i numeratori. Chiamo $m_i$ la molteplicità di $lambda_i$ come radice del polinomio caratteristico.
- il generico elemento della matrice $z(zI-A)^(-1)$ è dato da
$p(z)=(n(z))/(d(z))=(n(z))/(prod_(i=1)^q(z-lambda_i)^(m_i))$
dove $q<r$. Espandendo in frazioni parziali,
$p(z)=sum_(i=1)^q sum_(j=1)^(m_i) (A_(ij)z)/((z-lambda_i)^j)$,
dove $A_(ij)$ sono gli opportuni residui per lo sviluppo.
- antitrasformando,
$p(k)=sum_(i=1)^q sum_(j=1)^(m_i) A_(ij) ((k),(j-1)) lambda_i^(k-(j-1))$.
- ne deriva che gli elementi di $A^k$, contengono funzioni del tipo $k^(mu) lambda_i^(k) $, dove $mu in {0,1,ldots,m_i-1}$, che sono i modi naturali del sistema.
Se poi ci sono anche coppie coniugate di autovalori complessi $lambda_i=sigma e^(j omega)$ i modi sono $k^mu sigma^k cos(omega k)$ e $k^mu sigma^k sin(omega k)$
Nel tuo caso la molteplicità $m$ di $1$ come radice del polinomio minimo è $1$, quindi non ci sono modi misti polinomiale - esponenziale ma solo modi esponenziali (che poi, vista la natura dell'autovalore, sono costanti).
Spero ti sia più chiaro.