Messaggioda Woody » 09/08/2005, 16:34

Credo di essere vicino alla soluzione!
R è un'estensione di Q, quindi esiste T sottoinsieme di R tale che:
R = Q[T] . Ogni elemento x di R si scrive perciò come:
x = a_1*v_1 + ... + a_n*v_n dove a_1...a_n sono razionali e v_1...v_n sono reali t.c.:
1) v_1...v_n sono linearmente indipendenti in Q;
2) v_i = ((t(i)_1)^b(i)_1)*...*((t(i)_m)^(b(i)_m)) per qualche t(i)_1...t(i)_m in T, b(i)_1...b(i)_m naturali, per ogni i=1...n.
Tale scrittura non è unica; supponiamo quindi che esista S sottoinsieme di R tale che ogni numero reale x si scrive in modo unico come:
x = a_1*v_1 + ... + a_n*v_n con la medesima notazione di prima.
Allora, data g: S -> S biiezione, esiste un unico omomorfismo di anelli f: R -> R tale che: f(s) = g(s) per ogni s in S; basta infatti definire:
f(sum(a_i*prod((t(i)_j)^(b(i)_j),j=1..m),i=1..n) = sum(a_i*prod((f(t(i)_j))^(b(i)_j),j=1..m),i=1..n) .
Dunque, sotto l'ipotesi precedente, l'insieme degli omomorfismi dell'anello R in sè avrebbe cardinalità infinita e non numerabile (perchè ogni T sottoinsieme di R t.c. Q[T] = R deve essere non numerabile).
Saluti,

Woody
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Messaggioda Woody » 16/08/2005, 20:45

Rettifico: il problema non l'ho risolto. Sembra che sia un pò troppo difficile per le mie conoscenze attuali... Ma comunque è stato interessante discuterne! Ringrazio tutti voi che siete intervenuti! Saluti,

Woody
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Messaggioda Woody » 17/08/2005, 10:04

Un momento, Mistral! Ripensando al tuo controesempio, cioè all'applicazione di Z[i] in H={a+2bi:a,b in Z} definita da:
f(a+ib)=a+2bi , mi sono accorto che non può essere un morfismo di anelli. Se supponiamo f morfismo si ha:
-1 = f(-1) = f(i^2) = (f(i))^2 = (2*i)^2 = -4 --> assurdo!
Quindi potresti darmi un altro controesempio? Grazie per la collaborazione. Ciao,

Woody
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