Credo di essere vicino alla soluzione!
R è un'estensione di Q, quindi esiste T sottoinsieme di R tale che:
R = Q[T] . Ogni elemento x di R si scrive perciò come:
x = a_1*v_1 + ... + a_n*v_n dove a_1...a_n sono razionali e v_1...v_n sono reali t.c.:
1) v_1...v_n sono linearmente indipendenti in Q;
2) v_i = ((t(i)_1)^b(i)_1)*...*((t(i)_m)^(b(i)_m)) per qualche t(i)_1...t(i)_m in T, b(i)_1...b(i)_m naturali, per ogni i=1...n.
Tale scrittura non è unica; supponiamo quindi che esista S sottoinsieme di R tale che ogni numero reale x si scrive in modo unico come:
x = a_1*v_1 + ... + a_n*v_n con la medesima notazione di prima.
Allora, data g: S -> S biiezione, esiste un unico omomorfismo di anelli f: R -> R tale che: f(s) = g(s) per ogni s in S; basta infatti definire:
f(sum(a_i*prod((t(i)_j)^(b(i)_j),j=1..m),i=1..n) = sum(a_i*prod((f(t(i)_j))^(b(i)_j),j=1..m),i=1..n) .
Dunque, sotto l'ipotesi precedente, l'insieme degli omomorfismi dell'anello R in sè avrebbe cardinalità infinita e non numerabile (perchè ogni T sottoinsieme di R t.c. Q[T] = R deve essere non numerabile).
Saluti,
Woody