da karl » 13/04/2004, 15:04
Le risposte al quesito sono relative alla particolare
curva proposta.Procedimenti piu' generali sono i seguenti:
<b>1) Centro.</b>
Detta F(x,y)=0 l'equazione della conica,il centro
si ottiene risolvendo il sistema:
[Fx=0,Fy=0] essendo Fx ed Fy le derivate parziali
di F(x,y) rispetto ad x e ad y.
Per es,nel caso proposto,risulta:
F(x,y)=xy+2x-y-3,Fx=y+2,Fy=x-1
Il sistema e' dunque:[x-1=0,y+2=0]--->centro=(1,-2)
<b>1)Asintoti</b>
Gli asintoti (esistenti solo per l'iperbole) sono
le tangenti alla conica nei suoi punti impropri
ovvero nelle sue intersezioni con la retta impropria
del piano della conica.
Equazione tangente:
x*Fx+y*Fy+t*Ft=0
[dove x,y,t sono le coordinate omogenee del piano della conica
e Fx,Fy,Ft sono le derivate parziali di F(x,y,t)]
Per es.,nel caso nostro si ha:
Scriviamo l'equazione della conica in forma omogenea
sostituendo ad x e ad y , x/t e y/t rispettivamente
(x/t)(y/t)+2(x/t)-(y/t)-3=0
ovvero:
xy+2xt-yt-3t^2=0
Per t=0
si ha xy=0 da cui [x=0 ,y qualunque,t=0] e [x qualunque,y=0,t=0].
I punti impropri sono allora:X(1,0,0) e Y(0,1,0)
Fx=y+2t,Fy=x-t,Ft=2x-y-6t
a)Nel punto X tali derivate sono Fx=0,Fy=1,Ft=2
La relativa tangente e' allora:
y+2t=0 e ritornando a coordinate non omogenee
y+2=0
b)Nel punto Y tali derivate sono Fx=1,Fy=0,Ft=-1
La relativa tangente e' allora:
x-t=0 e ritornando a coordinate non omogenee
x-1=0.
E' chiaro il procedimento generale e' utile nei casi
in cui l'iperbole non e' di tipo semplice come nello
esercizio proposto.
karl.
P.S.
Per ulteriori notizie si puo' vedere il post "coniche" di
"gandalph2004" del "04/01/04" dove ho indicato altri particolari.
Modificato da - karl il 13/04/2004 16:06:00