Quello è il prodotto scalare $v*w$, che ti dà uno scalare (sì, in questo caso è $7$).
Il "prodotto vettoriale", $vxw$ ti dà un
vettore, che è ortogonale ad entrambi $v$ e $w$,
ed ha modulo $||v||*||w||*sin hat(vw)$. -e questo è massimo se sono ortogonali (nullo se paralleli).
Nota che è l'area di un parallelogramma in $E^2$ con lati (contigui) paralleli ai due vettori.
Il prodotto
vettoriale ha senso solo in $RR^3$, per cui
i tuoi vettori saranno:
$v=(3hat(i)-4hat(j) +0hat(k))$, $w=(1hat(i)-1hat(j)+0hat(k))$
Il vettore risulatante $z$ del prodotto sarà ortogonale ad entrambi, perciò
$z=(0hat(i)+0hat(j)+hhat(k))$.
qual è $h$?
un per uno zero,
un per due tre...
CIOE'! :- $ z^3 =v^1*w^2 - v^2*w^1$; vedi? dicevo:
312... -->"+", 321... -->"-".
Allora -$vxw=(0hat(i) + 0hat(j) +((-3) - (-4) = 1)hat(k))$.
Poi questo andrà moltiplicato scalarmente per l'altro vettore.
-perchè lo scalare risultante sarà in modulo il
volume di un prisma a facce -parallelogrammi e spigoli
insistenti nello stesso vertice paralleli ai tre vettori in $E^3$?
!Ma infatti vedo ora che è nullo -com era ovvio, perchè i tre vettori giacciono sullo stesso piano.
Il "prodotto misto", che è quello che hai tu: risulatato di prodotto vettore scalare altro vettore, ti
fa vedere se tre vettori sono o no linearmente indipendenti.
Il prodotto misto pui vederlo come determinante
di una matrice che ammetta come sue (colonne diciamo, anche se il determinante è uguale...) i vettori (nell'ordine!)
$u$, $v$, $w$ (ovvero in permutazioni pari...)