da giammaria » 06/06/2010, 13:50
Ho continuato a cercare una soluzione che non richiedesse troppi calcoli, trovando quella che segue. Se qualcuno ha una soluzione migliore, lo prego di renderla nota.
Pongo $AD=b; A \hatDB=x; B \hatAD=u; D \hatAC=v$,con $u+v=120^o$. Se ne deduce $\hatB=180^o-(x+u)$ nonché $\hatC=180^o-v-(180^o-x)=x-v$.
Applicando il teorema dei seni ai triangoli ABD e ADC, dopo un facile passaggio trovo
${(a sen(x+u)=2bsen u),(asen(x-v)=2bsenv):}$ cioè ${(a senx cosu+a cosx sen u=2bsen u),(a senx cosv-acosx senv=2bsenv):}$
Con combinazioni lineari, elimino prima il coseno e poi il seno di x, ottenendo
${(a senx(cosu senv+cosv sen u)=2b*2 sen u senv),(a cosx(sen u cosv+senv cosu)=2b(sen u cosv-senv cosu)):}$
Ma si ha
$cosu senv+cosv sen u=sen(u+v)=sen120^o=sqrt3/2$
$2sen u cosv=cos(u-v)-cos(u+v)=cos(u-v)-cos120^o=cos(u-v)+1/2$
$sen u cosv-senv cosu=sen(u-v)$
e quindi il sistema è
${(sqrt3/2asenx=2b[cos(u-v)+1/2]),(sqrt3/2acosx=2bsen(u-v)):}$
Quadrando, sommando ed applicando la prima formula fondamentale della goniometria ottengo
$3/4a^2=4b^2[1+cos(u-v)+1/4]$
e basta qualche passaggio algebrico per avere
$cos(u-v)=(3a^2-20b^2)/(16b^2)$
Con i dati inizialmente forniti si può proseguire solo con l'arcocoseno; con la correzione da me proposta e cioè $b=sqrt3/6a$ il secondo membro vale 1, quindi $u=v$: la mediana è anche bisettrice e il triangolo è isoscele.
Questa conclusione suggerisce anche un altro metodo: notare che il triangolo isoscele è soluzione in quanto soddisfa ai dati forniti e dimostrare che è l'unica (non ho provato e non so se è facile o no); considero però poco soddisfacente un metodo che si basa sul fatto di essere in un caso particolare.
- Indicando i metri con m e i centimetri con cm, si ha m=100 cm. Quindi 5 centimetri equivalgono a metri m=100*5=500.
- E' disonesto che un disonesto si comporti in modo onesto (R. Powell)