equazioni differenziali lineari - dubbio

[lucay9]

Salve a tutti, avrei bisogno di un chiarimento sui differenziali che hanno la parte destra dell' uguale nella forma $ e^a *x * (h*cos(beta*x) + k*sin(beta*x)) $
in particolare sto affrontando degli esercizi in cui il blocco alla destra dell'uguale è formato solo da $ cos $ o da $ sin $ e non capisco se, nel calcolo della soluzione particolare, devo considerare $ y0 = e^a *x * (a*cos(beta*x) + b*sin(beta*x)) $ oppure se devo considerare solo il $ cos $ o solo il $ sin $ (a seconda di quello che mi viene dato nell'esercizio ovviamente). Ho provato più volte entrambi i casi ma il risultato non mi torna mai...

es. $ y" +6y' + 9y = 6*cos(3x) $
soluzione equazione caratteristica: $ y1 = e^(-3*x) * (c1+c2*x)
soluzione particolare: qui il dubbio: è da considerare $ y0 = a*cos(3x) + sin(3x) $ oppure $ y0=a*cos(3x) $ ?

Grazie a tutti.
ciao!

[j18eos]

$\sin0=0$ in tale esempio non cambia!

[lucay9]

cavoli ma considerando $ sin=0$ avrei:
$ y0 = a*cos(3x) $
$ y'0 = -3*a*sin(3x) $
$ y"0 = -9*a*cos(3x) $
quindi:
$ -9*a*cos(3x) -18*a*sin(3x)+ 9*a*cos(3x) = 6*cos(3x) $
da cui rimane solo :
$ -18*a*sin(3x) = 0 $
anche negli altri esercizi, finisce sempre che mi si elidono i termini che invece mi dovrebbero rimanere perchè presenti anche dopo l'uguale...ed ovviamente il risultato risulta sbagliato..

Vedete per caso dove sbaglio??
Grazie.
Ciao!

[gugo82]

Tre note:

1. Si chiamano equazioni differenziali ordinarie lineari, non differenziali; i differenziali sono altra cosa.

2. Cos'è \( \displaystyle r(x) \) ? Secondo te le notazioni sono universali?

3. Evita lo stile sms; qui le parole tendiamo ad usarle nella loro interezza e nel loro significato preciso.

Per il resto, data la natura del thread, lascio la palla ad altri.

[lucay9]

Ok gugo82, dovrei aver sistemato tutto.
Ciao.

[gugo82]

Ancora: credo che "blocco a destra dell'uguale" significhi termine noto, no?

Ad ogni modo, quando hai un'equazione differenziale lineare a coefficienti costanti d'ordine \( \displaystyle N \) \( \displaystyle Ly=r \) , con \( \displaystyle Ly:=\sum_{k=0}^{N} a_k\ y^{(k)} \) , ed il termine noto \( \displaystyle r \) viene nella forma “buona”:

\( \displaystyle r(x)=e^{ax} [p_n(x)\ \cos bx+ q_m(x)\ \sin bx] \)

con \( \displaystyle a,b\in \mathbb{R} \) e \( \displaystyle p_n(x),q_m(x) \) polinomi di grado \( \displaystyle n \) ed \( \displaystyle m \) , per determinare una soluzione particolare dell'equazione completa puoi procedere come segue:

1. controlli se il numero complesso individuato dal termine noto \( \displaystyle z:=a+\imath b \) è soluzione dell'equazione caratteristica associata all'operatore \( \displaystyle L \) , ossia soluzione di \( \displaystyle \sum_{k=0}^N a_k\ \lambda^k =0 \) ; in caso affermativo, ne calcoli la molteplicità \( \displaystyle \mu \) e vai al passo 3, altrimenti vai al passo 2.
   
   
2. se il numero complesso \( \displaystyle z \) non è soluzione dell'equazione caratteristica, allora la soluzione dell'equazione completa è da ricercarsi nella forma:
   
   (A) \( \displaystyle y(x)=e^{ax} [P_l(x)\ \cos bx+ Q_l(x)\ \sin bx] \)
   
   in cui \( \displaystyle P_l(x),Q_l(x) \) sono polinomi incogniti di grado \( \displaystyle l=\max \{ n,m\} \) (ossia di grado uguale al più grande tra i gradi di \( \displaystyle p_n \) e \( \displaystyle q_m \) ).
   
   
3. se invece \( \displaystyle z \) è soluzione dell'equazione caratteristica ed ha molteplicità \( \displaystyle \mu \) , la soluzione particolare dell'equazione completa va ricercata nella forma:
   
   (B) \( \displaystyle y(x)=e^{ax} [x^\mu P_l(x)\ \cos bx+ x^\mu Q_l(x)\ \sin bx] \)
   
   ove \( \displaystyle P_l(x),Q_l(x) \) sono polinomi incogniti di grado \( \displaystyle l:=\max \{ n,m\} \) .
   
   
4. Per determinare i polinomi incogniti \( \displaystyle P_l(x),Q_l(x) \) si procede come segue:
   
   
   • si sostituisce una loro espressione esplicita:
     
     \( \displaystyle P_l(x) = \sum_{h=0}^l \alpha_h\ x^h,\ Q_l(x)=\sum_{h=0}^l \beta_h\ x^h \)
     
     nella soluzione particolare (nella forma (A) o (B) a seconda del caso) e si deriva tale soluzione fino all'ordine \( \displaystyle N \) dell'equazione;
     
     
   • si sostituiscono le derivate della soluzione particolare nell'equazione e si fanno le opportune semplificazioni, cercando di mettere il termine \( \displaystyle Ly \) nella forma \( \displaystyle \text{polinomio per coseno + polinomio per seno} \) ;
     
     
   • a questo punto si uguagliano i coefficienti dell'espressione \( \displaystyle Ly \) a quelli omologhi dell'espressione del termine noto \( \displaystyle r \) , ricavando un sistema di equazioni lineari nelle \( \displaystyle 2(l+1) \) incognite \( \displaystyle \alpha_0,\ldots ,\alpha_l, \beta_0,\ldots ,\beta_l \) ;
     
     
   • si risolve il sistema in modo da determinare finalmente i coefficienti dei polinomi incogniti;
   
   
5. Infine si sostituiscono i coefficienti trovati al passo precedente nell'espressione esplicita dell'integrale particolare, che in tal modo risulta completamente determinato.

Prova ad applicare questo metodo alla tua equazione e vedi cosa ne esce.

[lucay9]

Ok,ho scoperto dove sbagliavo...riporto la soluzione qui sotto nel caso possa servire a qualcuno:

$ y0 = (e^(0*x)) * a*cos(3x) + b*sin(3x)) = a*cos(3x) + b*sin(3x) $
$ y0' = -3*a*sin(3x) + 3*b*cos(3x) $
$ y0'' = -9*a*cos(3x) - 9*b*sin(3x) $
quindi sostituendo alla funzione iniziale:
$ ( -9*a*cos(3x) - 9*b*sin(3x) ) + (6*(-3*a*sin(3x) + 3*b*cos(3x))) + (9*(a*cos(3x) + b*sin(3x)))) = 6*cos(3x) $
$ cos(3x)*(-9a + 18b + 9a) + sin(3x)*(-9b -18a +9b) = 6*cos(3x)$
quindi:
$ (18b = 6) $ ovvero $ b=1/3 $
$ (-18a = 0 ) $ ovvero $ a=0 $
quindi
$y0 = 1/3 *sin(3x)