Vorrei presentarvi un problema che sembra semplice ma in realtà è difficile. Però prima permettetemi
una piccola introduzione.
Il tutto cominciò quando con dei miei amici andammo in una sala da bingo, a me il gioco annoiava ma altri erano
dei frequentatori abbastanza assidui. Io non giocavo ed ad un certo punto, durante l'estrazione, mi accorsi che
esisteva un premio che si chiamava "bingo oro" mi spiegarono che era un premio che similmente ad altri,
veniva potenzialmente assegnato solo in certe partite. Si vince se si fa bingo entro un certo numero di estrazioni
se ricordo bene $40$. In caso di vincita si prendevano dei bei soldi perché il montepremi saliva da tempo.
Uno dei miei amici, che sa che mi piacciono questi problemi, mi chiese di dirgli quale fosse secondo me
la probabilità di portarsi a casa il bingo oro.
Cominciai a pensare a quale fosse la risposta ma dopo poco mi resi conto che il problema era più spinoso di quello
che poteva sembrare.
Un metodo per partire è quello di semplificare il problema ai minimi termini e pensare che esista una sola cartella
venduta (per chi non lo sapesse fare bingo è come fare tombola e si hanno sempre $15$ numeri in cartella).
Il problema è un po datato, a quel tempo avevo meno strumenti, e non ricavai un ragno dal buco neppure con tale
impostazione semplificata (sottolineo che mi interessava e mi interessa solo una soluzione esatta e non un'approssimazione
per simulazione a computer che sapevo essere ottenibile).
Qualche giorno fa nel post "problema mazzo di carte" si è individuata la v.a. "ipergeometrica negativa"
v.a. abbastanza sconosciuta ma che fa al caso nostro.
la funzione di probabilità è questa:
$P(X=i)=(C(n,r-1)*C(m,i-r))/(C(n+m,i-1))*(n-r+1)/(n+m-i+1)$
dove $C(N,k)=(N!)/(k!*(N-k)!)$
nel nostro bingo:
$n=$i numeri della cartella che sono $15$
$m=$i numeri non della cartella ovvero i restanti $75$
$r=$ è il numero di chiamate "buone" che attendiamo per la nostra cartella, cioè per noi r= $15$
$i=$ possibili valori per la chiamate critica (cioè quella del bingo) vanno da $15$ a $90$ perché l'estrazione vincente
può essere una di quelle.
Quindi il problema semplificato è risolto, ad esempio la prob. che $i>68=99,3%$ ovvero c'è, quasi di certo,
da aspettare una bel po di estrazioni. Più di quelle che si penserebbe. Per il bingo oro buona notte.
Il problema in realtà si poteva risolvere anche con la ipergeometrica ma me ne sono accorto solo
adesso. Tra l'altro ho notato una cosa singolare, se $F()$ è la funzione di ripartizione della
v.a. ipergeometrica negativa e $f()$ è la funzione di densità di probabilità della ipergeometrica "associata"
abbiamo, se non prendo un granchio, che $F(i)=f(i)$.
Comunque tornando a noi se ragioniamo come giocatori singoli, ed abbiamo una sola cartella,
ci dobbiamo fermare qui. Tuttavia possiamo averne più di una e poi ciò che
inizialmente si chiedeva è anche interpretabile come la probabilità che "qualcuno" (fra tutti i giocatori) faccia bingo.
E' chiaro che se ci sono tante cartelle vendute le probabilità crescono per ogni valore di $i$. Ma come?
In una sola partita non esistono cartelle identiche e quelle possibili sono $C(90,15)=4,579*10^16$ un bel numerone!
ma la cosa brutta è che le intersezioni tra le cartelle (cioè i numeri comuni) variano da coppia a coppia
e noi abbiamo un numero diciamo $c$ di cartelle vendute che è un sottoinsieme di numerosità aleatoria
dell'insieme $C(90,15)$ che casino!!!
Da quello che mi hanno detto nella maggior parte dei casi il bingo arriva tra la $55$-esima e la $70$-esima estrazione
ma ho paura che una soluzione esatta al problema: Qual'è la probabilità che venga vinto il bingo oro?
o in generale venga vinto un bingo entro l'estrazione$i$-esima?
sia indeterminabile.
Siete d'accordo? o avete idee?