Forme differenziali non definite in (0,0)

[caramella87]

Ciao ragazzi, avrei bisogno di una mano per chiarirmi dei dubbi di natura sia pratica che teorica sulle forme differenziali. Ho una serie di esercizi da fare in cui le forme differenziali sono definite in $RR^2 -(0,0) $ , ve ne posto una come esempio. Il testo dice di calcolare

$\int \omega $

sulla curva $\gamma$ di equazione $(2+cost, 2 sent) t in [0,\pi]$

$ \omega= (2x^2+y^2)/(x^2+y^2)^(1/2) dx+ (xy)/(x^2+y^2)^(1/2)$

Solitamente in un insieme semplicemente connesso io procedo così: vedo se è chiusa, se lo è affermo che è esatta, trovo il potenziale e mi calcolo l'integrale come differenza tra potenziale nel punto finale della curva e potenziale nel punto iniziale.
In questo caso però...poichè $RR^2 -(0,0) $ non è semplicemente connesso non posso agire in questo modo. Partendo dal presupposto che il mio prof sul libro (ovviamente!) non ha messo nemmeno un esempio...cercando su internet ho trovato che posso lavorare come faccio solitamente se dimostro che il sostegno della curva si trova in un sottoinsieme di $RR^2 -(0,0) $ semplicemente connesso.
Nel mio caso potrei dire che la curva si trova nel sottoinsieme di $RR^2, y>=0 $ che è semplicemente connesso...giusto?
Ho già provato che è chiusa, perchè le derivate miste sono uguali, posso dire che è esatta in tale sottoinsieme e trovarmi il potenziale? Esiste un modo meno laborioso di risolverlo?
Inoltre nel forum ho visto che spesso in questi casi si deve andare a considerare una curva attorno a (0,0) la cui circuitazione sia nulla... potreste aiutarmi a capire questa cosa con un esempio (magari sul mio esercizio)? Grazie...ciao

[edge]

Se vuoi vedere che è esatta fai l'integrale parametrizzando con $x=cost$ $y=sent$ fra $[0,2pi]$ così vedrai che fa zero dunque è esatta.

[caramella87]

Devo quindi fare un integrale curvilineo sulla circonferenza? E questo se viene zero mi basta a dire che è esatta?

[dissonance]

Inoltre nel forum ho visto che spesso in questi casi si deve andare a considerare una curva attorno a (0,0) la cui circuitazione sia nulla... potreste aiutarmi a capire questa cosa con un esempio (magari sul mio esercizio)? Grazie...ciao

Qui ho cercato di spiegare a grandi linee la teoria che c'è dietro:

https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#427320

[caramella87]

grazie mille...avevo trovato qst post prima ancora prima che tu mi postassi il link, sto cercando d fare un po' d chiarezza infatti...
ho fatto come mi avete detto l'integrale sulla circonferenza con quella parametrizzazione e viene 0, ora tutto sta a giustificare correttamente questo procedimento usando la teoria

PS: ma quindi il ragionamento del sottoinsieme che ho trovato in diversi post è sbagliato? Io ho capito che dire che è localmente esatta è diverso dal dire che è esatta e quindi quello del sottoinsieme semplicemente connesso + che un ragionamento rigoroso mi sembra una "scappatoia"...

[caramella87]

Leggendo il post che mi hai segnalato, non so se ho capito bene, il mio integrale mi verrà cmq 0...poichè l'integrale sulla mia curva $\gamma$ è uguale all'integrale sulla circonferenza che fa 0...quindi non ho nemmeno bisogno di calcolare il potenziale ecc...o sbaglio???
Spero che mi risponderai, perchè se ho capito questa cosa finalmente posso farmi questi benedetti esercizi!

[dissonance]

Quello che devi ricordarti sempre è:

Caratterizzazione delle forme differenziali esatte:
Una forma differenziale lineare è esatta se e solo se tutte le sue circuitazioni sono nulle.

Questo è il caposaldo da cui discende tutto il resto. Quando tu parli di domini semplicemente connessi, forme differenziali chiuse, e cose del genere, ti stai riconducendo a questo risultato.

Infatti, un teorema che citavo (un po' male per la verità) nell'altro post è la versione per forme differenziali del Teorema di Cauchy su cui si fonda l'analisi complessa:

Teorema di Cauchy:
Sia $Omega$ un aperto di $RR^n$ e sia $omega$ una f.d.l. regolare e chiusa in $Omega$. Siano $psi, gamma$ due curve chiuse omotope in $Omega$ (ovvero, intuitivamente, due curve chiuse che possono essere deformate l'una nell'altra con continuità - la definizione precisa dovresti conoscerla). Allora

$\int_\psi \omega= \int_\gamma \omega$.

Questo teorema spesso si dà senza dimostrazione nei corsi di Analisi 2, poi si snocciola bene in Analisi Complessa.

Ora hai tutta la teoria che ti serve per dare condizioni sufficienti affinché la f.d.l. $omega$, definita in $Omega$ e chiusa sia anche esatta.

Caso 1 : $Omega$ è semplicemente connesso (a scanso di equivoci: un aperto semplicemente connesso per noi è anche connesso. Alcuni non richiedono questa proprietà). In questo caso ogni curva chiusa $gamma$ contenuta in $Omega$ è omotopa ad un punto $P$; per il teorema di Cauchy la circuitazione $int_gamma \omega$ è uguale a $int_P\omega$ ed è chiaro che quest'ultimo integrale si annulla (un punto ha lunghezza $0$).

Caso 2: $Omega$ è unione disgiunta di aperti semplicemente connessi. In questo caso ogni curva $gamma$ è contenuta in uno solo di tali aperti, e per quanto detto al punto 1 la circuitazione estesa a $gamma$ si annulla.

Caso 3: $Omega=RR^2-{(0,0)}$. In questo caso ogni curva chiusa $gamma$ che non si avvolge attorno all'origine è omotopa ad un punto; con il ragionamento di sopra concludiamo che $int_gamma \omega=0$. Se invece $gamma$ si avvolge attorno all'origine, non può essere omotopa ad un punto (intuitivamente: non si riesce a deformarla in un puntino a causa del "buco"). Però essa è omotopa ad una circonferenza di centro $(0,0)$ percorsa un certo numero di volte, eventualmente in senso orario (verso negativo di percorrenza). Questo è un risultato di geometria che non è facile dimostrare adesso, lo prendiamo per buono: intuitivamente non è difficile arrivarci. E' anche possibile formalizzare bene cosa significhi quel "certo numero di volte", ma ora non ci interessa.

Per il teorema di Cauchy, detta $C$ la circonferenza percorsa in questo modo, abbiamo che

$int_gamma \omega= \int_C \omega$;

ora consideriamo la circonferenza $C^{**}$, di centro $(0,0)$, avente lo stesso raggio di $C$ e percorsa una sola volta in senso antiorario (verso positivo di percorrenza): è chiaro che

$n int_{C^{**}}omega=\int_{C}omega$ dove $n$ è il "certo numero di volte" di cui sopra.

Se $int_{C^{**}}omega=0$ anche $int_{C} omega=0$ e quindi $int_gamma omega=0$. In conclusione $omega$ è esatta.

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Spero stavolta di essere stato più chiaro. Quello su cui vorrei insistere è che non conviene ricordarsi questi casi singolarmente. E' molto più efficiente mandare a mente i due risultati principali (caratterizzazione delle forme esatte e Teorema di Cauchy) e poi applicarli volta per volta ai vari problemi. Serve anche un po' di intuizione geometrica per capire quando due curve chiuse sono omotope.

[caramella87]

Ti ringrazio per la chiarezza, diciamo che hai messo insieme tutta una serie di cose che nella mia testa erano ancora scollegate! Mi rivedo un po' di teoremi alla luce di quello che mi hai scritto, di cui onestamente avevo chiaro ben poco finora. Grazie 1000!

[caramella87]

Allora ho letto e approfondito quanto mi hai scritto...stamattina poi ero trp stanca e confusa! :-S
Ora ho rivisto un po' tutto e in riferimento al mio esercizio mi chiedo se è giusto come ho deciso d affrontarlo:

Al solito dico che il dominio di esistenza è $RR^2 -(0,0)$ dopo di che dimostro che la forma è chiusa, tramite l'uguaglianza delle derivate miste.
Vedo se nel mio insieme esiste una curva regolare attorno al punto (0,0) su cui ottengo una circuitazione nulla, se la trovo (provo con la circonferenza e vedo che va bene), affermo che tutte le curve chiuse che avvolgono l'origine saranno omotope a tale circonferenza.
Per le curve chiuse che non avvolgono l'origine semplicemente dico che sono omotope ad un punto, la cui circuitazione è 0.
Quindi essendo tutte le circuitazioni nulle posso affermare che la forma differenziale è esatta.
A questo punto poichè la curva dell'esercizio $\gamma (2+cost, 2sent) t in[0,2\pi] $ NON è chiusa (i valori gli estremi non coincidono, sono (3,0) e (1,0) ), per poter calcolare facilmente l'integrale su di essa mi trovo il potenziale di $\omega$ (dato che ho una forma esatta che lo ammette) e infine faccio...

$\int_\gamma \omega = \mu_f -\mu_i $

Spero sia ok, perchè ce la sto mettendo tutta per capire questa materia...ma sono negata! ((

[dissonance]

Non sei negata, va bene! Chiaramente per seguire questa strada devi trovare un potenziale.

Puoi anche usare un corollario del teorema di Cauchy: se una f.d.l. è chiusa e $gamma, psi$ sono due curve non chiuse, ma con gli stessi estremi, e sono omotope, allora $int_gamma omega=\int_psi omega$. E' esattamente la stessa cosa di prima, solo che qui devi richiedere che le curve abbiano gli stessi estremi, prima non era necessario (sostanzialmente perché, essendo le curve di prima chiuse, gli estremi "non c'erano").

Questo ti può servire per trovare curve più semplici su cui integrare: per esempio, nel tuo caso invece di integrare su un arco di circonferenza puoi integrare sul segmento che unisce $(3,0), (1,0)$, che ha una parametrizzazione MOLTO più gestibile.