Per il secondo attenzione che la soluzione e':
$y=c_1 + c_2 e^(-(\lambda)/mt) $ + integrale particolare
Visto che una volta l'hai scritto col + e una volta col - penso che si tratti solo di un errore di battitura....
Nella soluzione finale hai sbagliato a copiare la soluzione particolare:
$ q(t)=(mg)/\lambda t + c $
Per le tre costanti.
1.
La $c$ la puoi benissimo far assorbire dalla $c_1$ cosi' ne elimini 1a
2.
Imponendo $y(0)=0$ (scegliendo appositamente il sistema di riferimento) si ha:
$c_1+c_2=0$
3.
Imponendo $y'(0)=0$ (e qui pero' dovrebbe esserci scritta nel testo del problema la $v_0$) si trova:
$-(\lambda)/m c_2 + (mg)/\lambda=0$
Da queste due equazioni puoi ricavare $c_1$ e $c_2$......