Un problema già proposto in passato (se ben ricordo) da Gugo82 nella sezione "english corner", ma che se ben ricordo fini in un nulla di fatto (cioè nessuno fornì una dimostrazione completa).
Dunque lo ripropongo (la soluzione è mia e la posseggo )
"Siano $p_1,...,p_n\in [1,+\infty]$ tali che $\sum_{i=1}^n 1/p_i=1/p<=1$.
Siano $f_1,...,f_n$ funzioni misurabili tali che $f_i\in L^{p_i}(\Omega)$ ove $\Omega\subset RR^n$ aperto.
Allora $\prod_{i=1}^n f_i\in L^p(\Omega)$ e vale $||\prod_{i=1}^n f_i ||_p <=\prod_{i=1}^n ||f_i||_{p_i}$, dove $||f_i||_{p_i}=(\int_{\Omega}|f_i|^{p_i})^{1/p_i}$"
(Ovviamente vale la convenzione che se $p_i=+\infty$ allora poniamo $1/p_i=0$.