Mi spiace fare il guastafeste, ma tutte le formule sono sbagliate... anche quella di Alextorm, ne sono sicuro. Il mio prof ci ha lasciato come esercizio quello di trovare un controesempio, ma proprio non ci riesco: aiutino?
Vorrei confrontare la situazione con quanto accade per la formula per calcolare la cardinalità dell'unione di tre insiemi finiti qualsiasi: sostituendo nella formula di Alextorm a dimensione cardinalità e a somma tra spazi vettoriali unione, si ottiene questa:
\( \displaystyle \left |A\bigcup B\bigcup C \right | = \left |A \right | + \left |B \right |+\left |C \right | - \left |A \bigcap B \right | - \left |A \bigcap C \right | - \left | B \bigcap C \right | + \left | A \bigcap B \bigcap C \right | \)
che è giusta, ma che funziona perchè nella dimostrazione si usa il fatto che intersezione e unione distribuiscono tra loro. Invece somma tra spazi vettoriali e intersezione non distribuiscono tra loro e quindi il parallelismo salta. Una estensione della formula di Grassmann per la somma di tre sottospazi io la ricavo così:
(penso prima A + B come un unico sottospazio e mi riconduco alla formula nel caso di due soli sottospazi)
\( \displaystyle \dim(A+B+C)=\dim(A+B) + \dim(C) - \dim((A+B)\bigcap C) \)
e ora \( \displaystyle dim(A+B) \) lo esplicito con la formula solita, mentre il pezzo "brutto" che coinvolge somma e intersezione lo lascio indicato, perchè se somma e intersezione distribuissero tra loro potrei scrivere
\( \displaystyle (A+B) \bigcap C = (A \bigcap C) + (B \bigcap C) \) (falso!!)
e sviluppando ancora otterrei la formula (sbagliata) scritta da Alextorm. Però questo non dimostra che la formula è falsa, avrei bisogno di un controesempio! Ne ho provati tanti a caso ma tutti hanno fallito... Aiutino? Anzi più che avere i numeri, mi interesserebbe sapere come ci si può arrivare...
P.S: l'ultima formula di melli13 anche quella mi sa che è sbagliata, basta un controesempio qualunque per confutarla
P.S II: scusate ma sono nuovissimo e non so ancora scrivere le formule, prometto di imparare presto!
[Edit: come promesso, ho imparato e modificato
]