da chiaraotta » 17/06/2011, 14:26
Oppure per via geometrica .....
In un cerchio di centro $O$ e raggio $r$ considera un settore $AOB$ in cui $t = A\hat O B$ e $0 < t < \pi/2$. Proietta $A$ su $OB$ in $H$. Il triangolo $AOH$ è contenuto nel settore $AOB$ e quindi ha una superficie minore: $S_{AOH} < S_{AOB}$, oppure $S_{AOH} - S_{AOB} < 0$. A questo punto basta esprimere $S_{AOH}$ e $S_{AOB}$ in funzione di $r$ e $t$. Per quel che riguarda il triangolo $S_{AOH} = 1/2 * OH * AH = 1/2 * r * cost * r * sent = 1/2 * r^2 * sent * cost$. Per la superficie del settore si può scrivere una proporzione che lega superficie del settore $S_{AOB}$, superficie $S$ del cerchio e angoli al centro: $S_{AOB}/S = t/(2\pi)$. Da questa si ricava $S_{AOB} = t/(2\pi) * S = t/(2\pi) * \pi * r^2 = 1/2 * r^2 * t$. Dalla relazione $S_{AOH} - S_{AOB} < 0$, sostituendo le espressioni calcolate, si ha $1/2 * r^2 * sent * cost - 1/2 * r^2 * t < 0$ e, moltiplicando la disuglianza per $2/r^2$, si ottiene che $sent * cost - t < 0$.