Alpot ha scritto:...il secondo problema sta con le funzioni con i seni $(senx+cosx)/(sen2x)$ in questo caso non so proprio che fare..
Io proporrei di studiare la seconda funzione in questo modo ...
Per determinare il dominio di $(sen(x)+cos(x))/(sen(2x))$ si deve imporre che $sen(2x)!=0$. Questo avviene per $2x!=k pi$ e cioè $x!=k pi/2$.
Per studiare il segno della funzione, un modo semplice è quello di dividere numeratore e denominatore della frazione per $cos(x)$, che è$!=0$ nel dominio. Poi studiare separatamente il segno di numeratore e denominatore e quindi combinarli, aiutandosi con una tabella, per determinare quello del rapporto.
Ora $(sen(x)+cos(x))/(sen(2x))=(sen(x)+cos(x))/(2sen(x)cos(x))=1/2*(tg(x)+1)/(sen(x))$. Il segno di $1/2*(tg(x)+1)/(sen(x))$ è ovviamente lo stesso di quello di $(tg(x)+1)/(sen(x))$.
Nell'intervallo $(0, 2pi)$ si trova che
il numeratore $tg(x)+1<0$ se $tg(x)<-1$, il che avviene per $pi/2<x<3/4 pi$ e $3/2 pi<x<7/4 pi$;
il denominatore $sen(x)>0$ per $0<x<pi$.
Quindi si può costruire una tabella dei segni, da cui risulta evidente il segno della funzione
$|( 0 , , pi/2, , 3/4pi, , pi, , 3/2pi, , 7/4pi, , 2pi, ), ( \|, +, \|, -, \|, +, \|, +, \|, -, \|, +, \|, tg(x)+1), ( \|, +, \|, +, \|, +, \|, -, \|, -, \|, -, \|, sen(x)), ( \|, +, \|, -, \|, +, \|, -, \|, +, \|, -, \|, (tg(x)+1)/(sen(x)))|$.
Concludendo, la funzione è:
$=0$ per $x=3/4 pi+ k pi$,
$>0$ per $0+2k pi<x<pi/2+2k pi$, $3/4 pi+2k pi<x<pi+2k pi$, $3/2 pi+2k pi<x<7/4pi+2k pi$,
$<0$ per $pi/2+2k pi<x<3/4 pi+2k pi$, $pi+2k pi<x<3/2pi+2k pi$, $7/4pi+2k pi<x<2pi+2k pi$.
