da vittorino70 » 13/04/2012, 22:05
Il suggerimento di Piero sul fascio è giusto,però io continuerei in maniera diversa. Indichiamo con a,b ( nell'ordine) i due piani dati e con c il piano da trovare . Allora l'equazione di c è :
(1) \(\displaystyle c : (3m+2n)x-(m+n)y+(2m+n)z=2m+2n \)
con m,n parametri da determinare.
Adesso calcoliamo il coseno dell'angolo \(\displaystyle \alpha \) tra le normali al piano a e al piano b :
\(\displaystyle \cos\alpha=\frac{6+1+2}{\sqrt{9+1+4}\cdot \sqrt{4+1+1}} =\frac{9}{\sqrt {14 }\cdot \sqrt 6}\)
Analogamente calcoliamo il coseno dell'angolo \(\displaystyle \alpha ' \) tra le normali al piano b e al piano c :
\(\displaystyle \cos\alpha'=\frac{6m+4n+m+n+2m+n}{\sqrt{4+1+1}\cdot\sqrt {(3m+2n)^2+(m+n)^2+(2m+n)^2}} =\frac{9m+6n}{\sqrt {6 }\cdot \sqrt {14m^2+18mn+6n^2}}\)
Per la simmetria di a e c rispetto al piano b ,questi due coseni devono essere uguali :
\(\displaystyle \frac{9m+6n}{\sqrt {6 }\cdot \sqrt {14m^2+18mn+6n^2}}= \frac{9}{\sqrt {14 }\cdot \sqrt 6}\)
Da qui con un po' di calcoli trovi :
\(\displaystyle n_1=0,n_2=-3m \)
Sostituendo questi valori nella (1) ottieni come piano c proprio il piano a ( che è una soluzione banale ) ed il piano di equazione:
\(\displaystyle 3x-2y+z=4 \)
che è la soluzione effettiva.
Adesso devi solo sostituire le coordinate dei punti A,B,C,D in quest'ultima equazione e vedere per quali di essi è soddisfatta. Se non ho sbagliato conto la cosa dovrebbe essere verificata solo per il punto C.