da navigatore » 26/07/2012, 23:24
Aggiungo qualcosa, perchè noto uno smarrito silenzio da parte tua...
Per il secondo caso, la forza $vecF$ forma ora un angolo $\theta$ rispetto alla verticale. Fai un disegno bello grosso, con una circonferenza grande di raggio $R$, che tocca il piano nel centro $C$ di istantanea rotazione, e una circonferenza più piccola di raggio $r$, che rappresenta il cilindro su cui è avvolto il filo. Ora il filo è tangente alla circonferenza di raggio $r$, in un punto $Q$ tale che la sua direzione forma, con la verticale per $Q$, l'angolo $\theta$.
Se chiami $x$ l'asse orizzontale e $y$ quello verticale, hai che la forza $vecF$ si scompone in una componente verticale e una orizzontale, che hanno modulo :
$F_x = Fsen\theta$
$F_y = Fcos\theta$
Queste due componenti hanno momenti diretti in senso opposto rispetto al polo $C$ : occorre determinare esattamente i relativi bracci, perciò ti ho detto di fare un bel disegno grosso!
I due momenti sono : $ Fsen\theta*(R-rsen\theta)$ , e : $ - Fcos\theta(rcos\theta)$ .
Perciò il momento totale rispetto a $C$ è dato dalla loro somma algebrica :
$ M = FRsen\theta - Fr = F(Rsen\theta - r)$ ----(a)
Questo è il momento della forza rispetto al centro di istantanea rotazione, quando la forza $vecF$ è diretta come detto.
Noto il momento, si possono scrivere le stesse equazioni del caso precedente, per la traslazione ( ora la forza che causa la traslazione è solo $F_x$ ) e per la rotazione attorno a $C$ , tenendo appunto presente che il momento delle forze esterne è dato dalla (a). E così si analizza il moto, esattamente come nel caso precedente.
Ora è chiaro che nella (a) il termine in parentesi può essere positivo, nullo, o negativo, a seconda del valore di $\theta$ . Se èì positivo, il rocchetto avanza come quando la forza è orizzontale, cioè il filo si avvolge. Se è negativo, il rocchetto va all'indietro, il filo si svolge. E se è nullo, il rocchetto non ruota, perchè è nullo il momento di forze esterne rispetto al centro di istantanea rotazione, e il momento angolare non varia. Cioè, questa condizione si ha per : $sen\theta = r/R$ .
E se ci pensi un attimo, questo vuol dire appunto che la direzione del filo deve passare per il cento di istantanea rotazione: basta considerare il triangolo di ipotenusa $R$ e cateto $r$ , con angolo $\theta$ opposto al cateto.
La soluzione che ti ho linkato dice che in questo caso "il rocchetto resta in quiete".