da gugo82 » 11/09/2012, 01:29
La EDO è a secondo membro omogeneo e si può risolvere facendo la sostituzione \(y(x)=x\ u(x)\), la quale muta l'equazione in:
\[
x\ u^\prime (x) = 1+u^2(x) \; ,
\]
che è più semplice di quella assegnata (in quanto è a variabili separabili), e la condizione iniziale in \(u(1)=2\).
Chiaramente per \(x\) intorno a \(1\) la soluzione \(u\) è strettamente crescente, quindi la sostituzione \(\tau =u(t)\) è lecita e si ha:
\[
\int_2^{u(x)} \frac{1}{1+\tau^2}\ \text{d} \tau \stackrel{\tau=u(t)}{=} \int_1^x \frac{u^{\prime (t)}}{1+u^2(t)}\ \text{d} t = \int_1^x \frac{1}{t}\ \text{d} t = \ln x
\]
ossia:
\[
\arctan u(x)=\arctan 2 +\ln x
\]
e ciò importa:
\[
u(x)= \tan (\arctan 2+\ln x)\; .
\]
Da qui ricavare \(y(x)\) è semplicissimo.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)