@gio73: Effettivamente, questa denominazione "dominio semplice" non l'ho mai sentita nemmeno io, se non qui sul forum da un numero sparuto di utenti; quindi suppongo non sia un nome diffuso e comune, ma usato solamente da qualche docente (e da qualche testo di Analisi).
Quello che Lorin definisce come "dominio semplice" è quello che io ho sempre chiamato "dominio normale nel piano", i.e. un dominio
* \(\Omega \subset \mathbb{R}^2\) che può essere rappresentato nella forma:
\[
\Omega =\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2:\ x\in X,\ y\in ]\alpha (x),\beta (x)[\}
\]
con \(X\subseteq \mathbb{R}\) è aperto ed \(\alpha ,\beta :X\to \mathbb{R}\) tali che \(\alpha (x)\leq \beta (x)\) (in questo caso si dice "normale rispetto all'asse \((x)\)"), oppure nella forma:
\[
\Omega =\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2:\ y\in Y,\ x\in ]\gamma (y),\delta (y)[\}
\]
con \(Y\subseteq \mathbb{R}\) è aperto ed \(\gamma ,\delta :Y\to \mathbb{R}\) tali che \(\gamma (y)\leq \delta (y)\) (in questo caso si dice "normale rispetto all'asse \((y)\)").
Geometricamente, questi domini sono caratterizzati dalla seguente proprietà geometrica:
Il dominio \(\Omega\) è normale rispetto all'asse \((x)\) [risp. \((y)\)] se e solo se ogni retta normale all'asse \((x)\) [risp. \((y)\)] o interseca \(\Omega\) in un segmento aperto oppure non interseca \(\Omega\).
__________
* Ricordo che un dominio di \(\mathbb{R}^2\) è un insieme aperto e connesso.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)