Dire che "
un operazione binaria su un insieme X è una qualunque funzione $f:X×X\rightarrowX$" è come dire che la sua applicazione, cioè "la funzione" è una generalizzazione delle operazioni binarie: l "applicazione" dell'operazione binaria, la cosiddetta 'funzione' è un operazione binaria solo se parafrasiamo la sua definizione inserendola nel contesto di una determinata struttura.
Un operazione binaria è sempre una funzione? Non basta dire 'si'.
Quando un'operazione binaria è dotata della 'struttura di un' iniezione', allora possiamo parlare di 'funzione come operazione binaria' o 'applicazione'
Per capire questa cosa bisogna leggere qui
https://ncatlab.org/nlab/show/subsetIn structural foundations of mathematics, this definition doesn't make sense, because there is no global membership predicate $\in$ (and there may not be a global equality predicate either). Accordingly, we define a $\text{subset}$ of $A$ to be a set $B$ with the *structure* of an injection
$$ i\colon B \hookrightarrow A .$$
Per essere
applicazione bisogna definire l'operazione binaria come un sottoinsieme di A
come un insieme B con la struttura di un'iniezione.
Possiamo allora affermare che le funzioni ovvero le 'applicazioni' (delle operazioni binarie) sono sempre operazioni binarie?
A livello strutturale lo possiamo fare?
Non se manteniamo la struttura dell'operazione binaria! cioè
non se l'operazione binaria "è come" un sottoinsieme di A (operazione binaria)
come un insieme B con la struttura di un'iniezione (applicazione) !
Invece se l'applicazione ha struttura di un
insieme A (non noto) come un sottoinsieme di B (non noto), allora si, ogni applicazione è un'operazione binaria
e viceversa se manteniamo anche la definizione dell'operazione binaria
come un sottoinsieme di A (operazione binaria)
come un insieme B con la struttura di un'iniezione (applicazione).
In questo caso abbiamo la fusione di 2 diverse definizioni in una sola, in questo caso le 2 definizioni sono
logicamente equivalenti perchè formano un'identità
https://en.wikipedia.org/wiki/Triple_barquesto perchè uso un connettivo logico bicondizionale tra le affermazioni.
https://en.wikipedia.org/wiki/If_and_only_ifIn pratica rendiamo indistinguibili una definizione rispetto all'altra perchè cambiamo i valori di verità per la definizione di applicazione (attenzione! non cambio
la definizione, ma cambio i valori di verità che strutturano la definizione in senso
logico) uniformandola ai valori di verità che la definizione di operazione binaria esibisce
come struttura (non basta infatti
come definizione), nel mio caso l'ho fatto parafrasando la struttura per la definizione di funzione, l'insieme A e il sottoinsieme B infatti non sono noti perchè tale 'insiemi' non sono dei
veri insiemi, ma falsi insiemi, in realtà sono tabelle di verità opportunatamente riscritte per poter fondere le definizioni e renderle indistinguibili, in questo modo ottengo un'identità (logica) per 2 concetti che
matematicamente sono diversi, ma non
logicamente.