Consideriamo il piano $R^2$ privato di $n$ punti distinti. Sia $X$ l'insieme così ottenuto.
Sia $x\inX$ fissato. Consideriamo l'insieme $\Omega(X,x)$ formato da tutti i cammini continui
che partono da $x$ e tornano in $x$. In $\Omega$ diciamo equivalenti due cammini se
si ottengono l'uno dall'altro mediante una deformazione continua. Sia ora $\pi_1(X)$ il quoziente
$(\Omega(X,x))/(\rho)$, dove $\rho$ è l'equivalenza appena definita. $\pi_1(X)$ è un gruppo rispetto
alla composizione di cammini (si fa prima uno e poi l'altro).
Bene...
1) (facile... molto intuitivo) determinare $\pi_1(X)$ per $n=1$
2) (serve sapere un pò di teoria dei gruppi) determinare $\pi_1(X),\foralln$
Nota:
chi sa un pò di topologia sa anche che il $\pi_1$ è un gruppo molto importante
associato ad uno spazio topologico connesso per archi. Esso è detto gruppo
fondamentale, o primo gruppo di omotopia.