E' una congerie di calcoli:se te la senti eccola qua'.
Se si tratta dell'equazione del pendolo e' meglio scriverla nella usuale forma
(1)
$ddot(theta)=-g/Lsintheta$
dato che l'anomalia
$theta$ e la forza F sono orientate in modo opposto.
La (1) si puo' anche scrivere cosi':
$(d(dot(theta))^2)/(dt)=(2g)/L(d(costheta))/(dt)$
Integrando e scegliendo opportunamente la costante d'integrazione:
$dot(theta)^2=(2g)/L(costheta-costheta_o)$
$(d theta)/(dt)=sqrt((2g)/L)sqrt(costheta-cos theta_0)$
Piu' che cercare di trovare
$theta $ in funzione di
t e' piu' interessante
tentare il calcolo del periodo del pendolo
$dt=sqrt(L/(2g))*1/(sqrt(costheta-costheta_o))d theta$
$tau=sqrt(L/(2g))*int_0^(theta_o)1/(sqrt(costheta-costheta_o))d theta$
dove
$tau$ e' la durata della semioscillazione semplice e quindi il periodo T e':
$T=4sqrt(L/(2g))*int_0^(theta_o)1/(sqrt(costheta-costheta_o))d theta$
Osserviamo ora che e':
$costheta-costheta_o=2[sin^2((theta_o)/2)-sin^2((theta)/2)]$
(2)
$int_0^1u^(2n)/(sqrt(1-u^2))du=(1*3*5*..(2n-1))/(2*4*6*..*(2n))*(pi)/2$
(questo integrale piglialo cosi' com'e' perche' non mi ricordo come si calcola ,forse
per parti)
Poniamo
$sin((theta)/2)=usin((theta_o)/2)$ da cui
$d theta=2sin((theta_o)/2)/(cos(theta//2))du=2sin((theta_o)/2)/sqrt(1-u^2sin^2(theta_o//2))du$
Pertanto , facendo qualche calcolo e ponendo
$k=sin(theta_o//2)$,avremo:
$T=4sqrt(L/g)int_0^1 1/(sqrt(1-k^2u^2)*sqrt(1-u^2))du$
L'integrale in questione e' appunto l'integrale ellittico (di 2° specie ,credo) e non
e' fattibile elementarmente come avete gia affermato.
Poiche'
$k^2u^2<1$ si puo' sviluppare uno dei 2 termini in serie binomiale:
$(1-k^2u^2)^(-1/2)=1+1/2k^2u^2+(1*3)/(2*4)k^4u^4+..+(1*3*5*..*(2n-1))/(2*4*6*..2n)k^(2n)u^(2n)+...$
Quindi il periodo diventa:
$T=4sqrt(L/g)int_0^1 1 /(sqrt(1-u^2))[1+1/2k^2u^2+(1*3)/(2*4)k^4u^4+..+(1*3*5*..*(2n-1))/(2*4*6*..*2n)k^(2n)u^(2n)+...]du$
Ovvero per la (2) :
$T=4sqrt(L/g)[(pi)/2+(1/2)^2(pi)/2k^2+((1*3)/(2*4))^2(pi)/2k^4+..+((1*3*5*..*(2n-1))/(2*4*6*..*2n))^2(pi)/2k^(2n)+...]$
Infine ,dato che
$k=sin(theta_o//2)$ e mettendo in evidenza
$pi/2$, si ha:
$T=2pisqrt(L/g)[1+(1/2)^2sin^2(theta_o)/2+((1*3)/(2*4))^2sin^4(theta_o)/2+..+((1*3*5*..*(2n-1))/(2*4*6*..*2n))^2sin^(2n)(theta_o)/2+...]$
Per
$theta_o $ piuttosto piccolo si ottiene la celeberrima formula approssimata:
$T=2pisqrt(L/g)$
karl
Ultima modifica di karl il 26/07/2006, 06:21, modificato 2 volte in totale.