In quanto segue, limito le coordinate spaziali ad una sola, e dò per scontato che si sappia questo:
-dati due “eventi” A e B nello spaziotempo, il 4-intervallo spaziotempoale tra essi, o semplicemente “intervallo”, è invariante, cioe non dipende da chi osserva i due eventi. Qui osservare significa misurare.
E ciò a causa della Geometria pseudo-euclidea di tale spaziotempo.
Cioè, dati due osservatori inerziali $O(ct,x)$ ed $O'(ct',x')$ in moto relativo con $\vecv = "cost"$, si ha che l'intervallo ha lo stesso valore per entrambi gli osservatori. L'intervallo va calcolato con segni opposti per il termine temporale e per i termini spaziali :
$\Deltas^2 = -(c\Deltat)^2 + (\Deltax)^2 = -(c\Deltat')^2 + (\Deltax')^2 $ -------(1)
La dimostrazione di questo risultato si può trovare in qualunque testo di RR , e anche in buone dispense in rete. Si può dimostrare anche senza passare attraverso le trasformazioni di Lorentz, ma utilizzando il cosiddetto "K calculus" di Bondi : segnali e.m. scambiati tra osservatori in moto, e basta.
La presenza di questi segni opposti fa sí che le rotazioni degli assi coordinati nel piano $(ct,x)$ per passare agli assi $(ct',x')$ non sia una rotazione nello stesso senso di entrambi gli assi, ma una "rotazione iperbolica": i due assi si chiudono o aprono "a forbice" , perchè la linea luce deve sempre rimanere bisettrice dei due assi, temporal e spaziale. Ma su questo non insisto.
Premesso ciò, consideriamo una astronave $AB$ che abbia lunghezza di riposo, o propria, uguale a $L$. L'astronave è in moto con velocita $\vecv = "cost"$ rispetto ad una stazione spaziale $S$ di rilevamento, e le passa davanti a breve distanza. Indichiamo con $(ct,x) $ il sistema di coordinate dell'astronave, e con $(ct',x') $ il sistema di coordinate di $S$.
Nella nave, c'e un orologio in $A$ (testa) e un orologio in $B$ (coda) che sono sincronizzati. Quando la testa della nave passa al traverso di $S$, un raggio laser partito da A arriva alla stazione e fa partire un orologio posto in S. La distanza tra astronave e stazione è piccolissima, per cui si può supporre trascurabile il tempo impiegato dal raggio laser a coprirla con velocita $c$.
Analogamente, quando davanti alla stazione passa la coda $B$ della nave un altro raggio laser sparato da B arresta l'orologio di $S$.
Abbiamo quindi due “eventi” nello spaziotempo, che sono :
-evento $A$ : la testa della nave passa al traverso di $S$.
-evento $B$ : la coda della nave passa al traverso di $S$.
Per la nave, questi due eventi sono separati sia nel tempo-nave : $t_B – t_A = \Delta t $ che nello spazio : $\Delta x = L$ .
Per la stazione, questi due eventi sono separati solo nel tempo-stazione, in quanto la posizione spaziale occupata da $S$ nel proprio riferimento ovviamente non cambia. Cioe : $\Delta t' = t'_B – t'_A$ .
Nella figura qui allegata :
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
gli assi $(ct,x)$ del riquadro a sinistra sono il riferimento spaziotemporale di quiete dell'astronave. La striscia verticale in grigio è la “striscia di universo” della nave, di larghezza $L$. “Nose” e “tail” indicano rispettivamente le line di universo della testa e della coda dell'astronave. In tale diagramma, la stazione $S$ attraversa la striscia da $A$ a $B$ , con la sua “linea di universo” la cui inclinazione rispetto alla verticale è uguale a $arctgv$ .
La figura a destra rappresenta invece il riferimento spaziotemporale di quiete della stazione $S$. La sua linea di universo è ora verticale, ed è attraversata dalla striscia di universo inclinata che rappresenta l'astronave.
I due diagrammi rappresentano la stessa situazione, ma vista dalla nave (a sin) e dalla stazione (a ds).
Una cosa deve essere chiara fin da subito : nello spaziotempo, esiste la striscia di universo dell'astronave, ed esiste la linea di universo della stazione. LA realtà fisica a 4 dimensioni è questa (in questo caso abbiamo eliminato le due dimensioni spaziali $y$ e $z$ dall'inizio, ma solo per semplicità di scrittura).
È soltanto il nostro modo sbagliato di separare il “tempo” dallo “spazio”, perché così siamo abituati a fare, a portarci a delle conclusioni che sembrano strane, nel nostro mondo che pensiamo essere geometricamente euclideo tridimensionale, con "in più" l'aggiunta del tempo. Ma invece bisogna fare i conti con un universo che, aggiungendo il tempo, non rimane più euclideo a 4 dimensioni!
Ecco, allora torniamo ai soli tempi, per vedere a che conclusione ci porta questo modo di valutare la Fisica.
A causa dell'invarianza dell'intervallo $(\Deltas)^2$ nei due riferimenti, possiamo scrivere :
$(\Deltas)^2 = -(c\Deltat)^2 + L^2 = -(c\Deltat')^2$ ------(1)
dove si è tenuto conto che i due orologi nell'astronave distano : $\Deltax = L $ , la lunghezza propria della stessa.
Invece i due eventi si verificano per la stazione nello stesso punto, sono quindi "separati" solo dal tempo proprio dell'orologio-stazione $\Delta t' $ .
Ora è solo algebra :
$(c\Deltat)^2[1- L^2 /(c\Deltat)^2] = (c\Deltat')^2$
$ (\Deltat)^2 [1-v^2/c^2] = (\Deltat')^2$ -------(2)
si è tenuto conto del fatto che $L^2 /(\Deltat)^2 = v^2$ , la velocità con cui la stazione passa dalla testa alla coda rispetto ad un osservatore dentro all'astronave.
Quindi :
$ \Deltat*sqrt (1-v^2/c^2) = \Deltat'$-------(3)
ovvero, ponendo al solito : $\gamma = 1/sqrt (1-v^2/c^2) $ :
$ \Deltat = \gamma*\Deltat'$ ------(4)
E la (4) ci dice quello che volevamo sapere: l'orologio della stazione, che è in moto rispetto all'astronave da $A$ verso $B$ (vedere il primo dis. a sinistra sopra), batte il "tempo proprio" più lentamente di quello "coordinato" misurato dall'astronave. E questo si vede solo paragonando il tempo proprio col tempo coordinato: entrambi gli orologi funzionano perfettamente, nel proprio riferimento.
Si verifica questo fatto, perché rispetto all'astronave i due eventi sono separati non solo nel "tempo coordinato" $\Deltat$, ma anche nello spazio $ \Deltax = L$ (dis. a sinistra). Invece nella stazione sono separati solo nel tempo proprio (dis. a destra).
Di solito il tempo proprio (quello misurato dalla stazione $\Deltat'$ ) si indica con :$\Delta\tau$. Quindi :
$\Deltat = \gamma\Delta\tau$ ------(5)
Vediamo ora che cosa succede per le misure di lunghezza.
Nel riferimento dell'astronave, la stazione si sposta di $L$ nel tempo : $\Deltat = \gamma\Delta\tau$ , con velocità $v$ . Percio :
$v = L/(\Deltat) = L/(\gamma\Delta\tau)$--------(6)
Ma nel riferimento della stazione, l'astronave per spostarsi tutta dalla testa $A$ alla coda $B$ davanti a $S$ impiega solo il tempo proprio $ \Delta\tau$ , giusto ? E la velocità è sempre $v$.
Perciò l'osservatore nella stazione misura una lunghezza dell'astronave pari a :
$L' = v* \Delta\tau = L/\gamma$------(7)
dove si è tenuto conto della (6) .
Perciò, la lunghezza dell'astronave misurata dalla stazione è $L' < L$.
E questa è la famosa "contrazione delle lunghezze" . L'astronave non subisce alcuna spaventosa compressione nel riferimento della stazione. Una riga metallica di $1m$ dentro l'astronave, non si "accorcia", rimane sempre di $1m$ in questo riferimento. Gli astronauti non si sentono schiacciati da forze spaventose.
È la misura eseguita dalla stazione, che è più piccola.
Come si vede, non ho parlato di trasformazioni di Lorentz e non ho detto una frase che spesso suona un po' oscura : la lunghezza del regolo in moto (astronave, in questo caso) si misura rilevando "contemporaneamente" i suoi estremi nel riferimento in cui si vuole effettuare la misura stessa. Questa frase si presta ad ambiguità. Come si fa ad essere presenti contemporaneamente ai due estremi di un regolo che si muove a velocità relativistica?
Invece, si vede che la "contrazione delle lunghezze" è un fatto strettamente collegato alla "dilatazione del tempo" . Questi due risultati vanno a braccetto in RR.
Spero di essere stato sufficientemente chiaro.