Caro Erasmus.
Penso che quel che sto per esporre meriterà certamente un tuo gradito apprezzamento.
Tutto ciò che, post dopo post, ho esposto su questo argomento nasce da una successione che ho inventato io. Almeno così mi sembra, allo stato attuale delle mie conoscenze.
Questa successione di interi positivi è
$Q1$
$ 0,1,2,5,12,29,70, 169, cdots cdots cdots$
E’ generata dalla formula di ricorrenza $Q2cdots cdots cdots a_(n+1)=2*a_(n)+a_(n-1)$ e da una scelta arbitraria iniziale dei primi due termini $a_(1)= 0 $ e $ a_(2)=1$
Passo a dimostrare due proprietà .
Consideriamo un insieme di 4 numeri legati tra loro dalla formula di ricorrenza Q2 appartenenti idealmente a una successione: $Q3cdots cdots cdots a_(n-1), a_(n),a_(n+1),a_(n+2)$.
Questo spezzone di successione, per evitare il noioso simbolismo con gli indici lo indicherò meglio con quattro lettere. $Q3cdots cdots cdots s,q,a,b$
Proprietà 1: In una successione di numeri REALI o INTERI di tipo Q3 generati dalla formula di ricorrenza Q2 si ha che: $as+bq=a^2+q^2$ che si può scrivere $as-q^2=-1(bq-a^2) = pm E$ in cui E è una costante il cui significato vedremo dopo.
Dimostrazione: Per sostituzione si ha: $as=2qs+s^2$
$bq=2aq+q^2$ da cui $as+bq= sa+2qa+q^2=a(2q+s)+q^2=a^2+q^2$
CDD
Proprietà 2: In una successione di numeri REALI di tipo Q3 linearmente dipendenti secondo la Q2 accade che se $Q4cdotscdotscdotsa+q=sqrt(2)*a$
allora anche i numeri s e q generati dalla formula di ricorrenza Q2 $a=2q+s$ soddisfano alla stessa equazione
$q+s=sqrt(2)*q$.
Nota bene che la $sqrt(2)$ è individuata da numeri positivi e perciò è di segno più senza ambiguità.
Ecco i passaggi:
I° membro della Q4 $a+q=2q+s+q$
II° membro della Q4 $sqrt(2)*a=sqrt(2)*2q+sqrt(2)s$
Se $2q+s+q=sqrt(2)*2q+sqrt(2)s$ allora $q=(sqrt(2)-1)*2q+(sqrt(2)-1)*s$ e quindi $(sqrt(2)+1)q=2q+s$ e poi $(sqrt(2)+1)q-q=q+s$ e infine $sqrt(2)*q=q+s$ CDD
Alla luce di queste due proprietà affrontiamo adesso il tema della convergenza della successione derivata dalla $Q1$ che chiamiamo $R$ perché ottenuta dai rapporti del tipo antecedente/successivo $R_(n) = a_(n)/a_(n+1)$.
Uno dei criteri generali di convergenza è dato dalla dimostrazione che la quantità $│R_(n-1)-R_(n)│$ possa essere resa infinitesima al crescere dell’indice n.
Usando il nostro simbolismo, si tratta di dimostrare che $│s/q-q/a│$ tende a zero. Il che si ottiene sviluppando la differenza $│s/q-q/a│ =│( as-q^2)/(aq)│$
Qui noi applichiamo la proprietà 1. $│as-q^2│= │pm E│=E$. Essa consente di evidenziare una COSTANTE che chiamiamo E il cui modulo è una caratteristica della successione. Il segno di tale costante non è determinabile per via simbolica, ovvero se non si conosce l’indice n o proprio i numeri effettivi. Ma poiché ai fini del criterio vale il modulo della differenza tra i rapporti, si ha che $│s/q-q/a│ =│( as-q^2)/(aq)│=E/(aq)$
Questo è sufficiente per dimostrare la convergenza poiché al crescere dell’indice della successione primitiva i valori a e q aumentano indefinitamente mentre il numeratore E resta lo stesso.
Il valore di E è fissato dalla prima coppia di numeri – interi o reali che siano - che viene scelta per creare la successione. Il suo peso relativo viene ridotto progressivamente. E’ ciò che ho chiamato principio di segregazione.
Vediamo alcuni esempi di terne iniziali.
Es. 1 $ 0,1,2 $ implica E = -1; Es. 2 $ 1,1,3 $ implica E = +2 Es. 3 $ 2,1,4 $ implica E = +7
Es. 4 $ 1,0,1 $ implica E = +1; Es. 5 $ 2,0,2 $ implica E = +4
Es. 6 già visto precedentemente $ 5,2,9 $ implica E = +41
Dalla semplice esperienza si può notare che non è possibile avviare una successione di INTERI con errore E =0.
Gli interi possono dar luogo a dei rapporti convergenti a un limite reale, ma non possono evitare di contenere un errore, una specie di peccato originale, fin dalla prima terna.
In compenso, visto che non c’è limite all’entità dell’errore originale si può avviare la successione con una scelta completamente arbitraria di due interi (positivi in questo nostro contesto).
Una volta commesso l’errore originale arrangiando la prima terna, lo sviluppo della successione provvederà a ridurlo sempre di più – in altre parole segregandolo nei primi termini - fino ad ottenere un rapporto di convergenza quasi perfetto ovvero perfetto fin che si vuole.
D’altra parte se noi avessimo già due numeri REALI tali che $a+q=sqrt(2)*a$ in base alla seconda proprietà potremmo sempre derivare altri due precursori tali che $q+s=sqrt(2)*q$.
Di conseguenza dalle due uguaglianze si avrebbe $(a+q)/a=(q+s)/q$ e dunque $q/a=s/q$ e quindi E = 0. Possiamo quindi pensare che si possa costruire una successione di numeri reali con errore zero fin dall’inizio. Insomma una successione che mantiene una catena di rapporti di tipo antecedente/successivo tutti uguali e perfetti.
Per generare la terna iniziale abbiamo due possibilità-
Prima possibilità: Scegliamo il primo numero che chiamiamo “p”, il secondo lo chiamiamo “x” e il terzo, generato dalla ricorrenza, sarà $ 2x+p$. La terna deve soddisfare la prima proprietà con E= 0. Perciò $E=(2x+p)*p-x^2 =0$ implica $x= p(sqrt(2)+1)$. La terna è $p,p(sqrt(2)+1), 2p(sqrt(2)+1)+p$
NB. Dobbiamo rifiutare il segno – davanti alla radice che renderebbe negativa tutta la soluzione. Il che, ripeto, non è compatibile con una successione di numeri Reali o interi POSTIVI.
Seconda possibilità: Scegliamo il primo numero che chiamiamo “x”, il secondo lo chiamiamo “p” e il terzo, generato dalla ricorrenza, sarà $ 2p+x$. Perciò $E=(2x+p)*p-x^2 =0$ implica $x= p(sqrt(2)-1)$. La terna è $p(sqrt(2)-1), p, 2p +p(sqrt(2)-1)$
NB. Dobbiamo sempre rifiutare il segno – davanti alla radice.
Esempio numerico:
Se il primo numero scelto da noi vale 1, il secondo lo chiamiamo x e il terzo, generato dalla ricorrenza, vale $2x+1$, la terna che soddisfa il criterio di E= 0 è: $1,(1+sqrt(2)), 3+2sqrt(2)$.
Nel prossimo post mi riprometto di generalizzare le due proprietà che ho esposto oggi.
Se continuate a seguirmi, scopriremo insieme vere e proprie magie dei numeri interi.