Aiuto con esercizi di matematica discreta

Messaggioda BucketheadLover » 09/01/2017, 23:56

Salve a tutti! Spero di non violare alcuna regola.
Avrei bisogno di una mano con alcuni esercizi di matematica discreta:

1) Trovare una relazione R su un insieme S che non sia una funzione da S in S, ma che contenga una funzione da S in S
2) Dimostrare che il coefficiente binomiale di N su K coincide con il coeff. bin. di N su N - K
3) Dimostrare che nessuna parte stabile di (N, +) è un monoide
4) Trovare, se esiste, l'inverso di 203 modulo 347

Mi piacerebbe che mi spiegaste lo svolgimento, anche di un solo esercizio...
So che bisogna usare la logica, ma, in particolare, ho difficolta sul primo e sul terzo esercizio.
- Nel primo, so che bisogna verificare tutte e sei le relazioni possibili tra insiemi, ma non so come procedere...
- Nel secondo ho capito che bisogna imporre l'ipotesi che entrambe le parti sono uguali, per poi procedere. L'ho risolto, ma mi piacerebbe avere il vostro risultato, in modo da poterlo confrontare, per sicurezza personale.
- Nel terzo sono proprio a piedi
- Nel quarto so che 203 modulo 347 sarebbe 203 nella classe di equivalenza 347, giusto? Quindi bisogna verificare il resto, e farne l'inverso, giusto?

Mi scuso se non uso il LaTeX, ma ho internet lento, e non posso vedere il PDF linkato. Ho impiegato 43 minuti per arrivare dove sono ora.
Grazie in anticipo, per qualsiasi risposta!
BucketheadLover
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Re: Aiuto con esercizi di matematica discreta

Messaggioda G.D. » 10/01/2017, 14:59

Ciao e benvenuto.

Partiamo dalla fine:

BucketheadLover ha scritto:Mi scuso se non uso il LaTeX, ma ho internet lento, e non posso vedere il PDF linkato. Ho impiegato 43 minuti per arrivare dove sono ora.


Posto che non ho capito a quale "PDF linkato" tu faccia riferimento, per usare il \( \LaTeX \) ti basta usarne la codifica con i relativi delimitatori, nient'altro: provvederà poi MathJax a compilare il codice \( \LaTeX \) e al tuo browser non resterà che visualizzare le formule che saranno pesanti quanto del testo normale.

Per quanto riguarda invece le tue richieste, cominciamo col primo esercizio:

Trovare una relazione \( \mathfrak{R} \) su un insieme \( S \) che non sia una funzione da \( S \) in \( S \) ma che contenga una funzione da \( S \) in \( S \).


Tu scrivi:

BucketheadLover ha scritto:- Nel primo, so che bisogna verificare tutte e sei le relazioni possibili tra insiemi, ma non so come procedere...


Suppongo che con "tutte e sei le relazioni possibili tra insiemi" tu ti riferisca alle seguenti sei tipologie di relazioni binarie:
• riflessiva;
• simmetrica;
• transitiva;
• antiriflessiva;
• asimmetrica;
• antisimmetrica.

Ora: molto probabilmente mi sto perdendo qualcosa o non ho ben capito il senso dell'esercizio, tuttavia senza sapere da quali elementi è composto \( S \) e da quali coppie di \( S^{2} \) è composta \( \mathfrak{R} \), non possiamo "verificare" alcunché. Al massimo, tentando di applicare la tua idea all'esercizio così come lo hai riportato, potremmo tentare di fare una cosa del genere: provare che una relazione su \( S \) che sia contemporaneamente di una certa tipologia, di un'altra e di un'altra ancora, non è una funzione da \( S \) in \( S \) ma contiene una funzione da \( S \) in \( S \). Tuttavia sono parecchio dubbioso a tal proposito: se per esempio \( S = \{ 1 \} \), allora a meno di andare a prendere la relazione vuota, l'unica possibile relazione è \( \mathfrak{R} = \{ ( 1, 1) \} \), che è una relazione riflessiva, simmetrica e transitiva ed è ovviamente anche una funzione. Ma se prendo \( T = \{ a, b, c, d \} \) e \( \mathfrak{G} = \{ ( a, a ), ( b, b ), ( c, c ), ( d, d ), ( a, b ), ( b, a ) \} \), allora ecco che \( \mathfrak{G} \) è anch'essa riflessiva, simmetrica e transitiva ma non è una funzione, seppur la contenga.
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