Massimi e minimi relativi e assoluti(con restrizione)

Messaggioda MrEngineer » 16/02/2017, 17:36

Ciao a tutti ragazzi! Sono nuovo qui :D . Non appena pubblicato questo thread andrò subito a presentarmi. Come suggerito dal titolo,devo trovare massimi e minimi relativi della seguente funzione: \(x^4+y^4-8(x^2+y^2)\). Per la mia funzione ho trovato i seguenti punti critici: \((0,0);(2,2);(2,-2);(-2,2);(-2,-2) \). Correggetemi se sbaglio,tramite Hessiana mi sono reso conto del fatto che il punto nell'origine sia di massimo relativo,mentre i rimanenti punti sono di minimo relativo(è giusto?).
Fatto questo,devo valutare gli estremi assoluti della stessa funzione a due variabili nella restrizione \( T= {(x,y) \in R^2 : x^2 + y^2 \leq 9} \). Pensavo di procedere dapprima nella parte interna della funzione(quando cioè \( x^2 + y^2 < 9\)) e poi nella frontiera(quando \( x^2 + y^2 = 9 \)). Non ho ben chiaro come procedere nel caso delle restrizioni. Che faccio?
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Re: Massimi e minimi relativi e assoluti(con restrizione)

Messaggioda gio73 » 17/02/2017, 08:55

Ciao
cosa mi dici dei punti
$(0;+2)$
$(0;-2)$
$(+2;0)$
$(-2;0)$
annullano il determinante?
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Re: Massimi e minimi relativi e assoluti(con restrizione)

Messaggioda MrEngineer » 17/02/2017, 10:57

gio73 ha scritto:Ciao
cosa mi dici dei punti
$(0;+2)$
$(0;-2)$
$(+2;0)$
$(-2;0)$
annullano il determinante?


Ciao Gio :) Se i miei calcoli sono giusti,sono tutti punti di sella. Dico bene? Per la ricerca degli assoluti,come mi consigli di procedere?
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Re: Massimi e minimi relativi e assoluti(con restrizione)

Messaggioda gio73 » 17/02/2017, 19:48

Ciao
a me piace immaginare l'aspetto delle funzioni in due variabili, di conseguenza cerco (quando possibile) di fare lo studio del segno, nel caso della tua funzione immagino che non ci sia un massimo assoluto (allontanandoci dall'origine aumenterà verso infinito in ogni quadrante), mentre mi aspetto dei minimi assoluti (poco sotto lo zero), per l'origine punto senz'altro su un massimo relativo senza passare per l'Hessiana.
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Re: Massimi e minimi relativi e assoluti(con restrizione)

Messaggioda MrEngineer » 18/02/2017, 16:21

Io mi sono buttato sullo studio di un sistema Lagrangiano trovando di conseguenza altri punti che mi sono risultati di minimo/massimo assoluto rispetto a quelli relativi che avevo già trovato con l'hessiana. Ho fatto male?
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Re: Massimi e minimi relativi e assoluti(con restrizione)

Messaggioda unvecchietto » 19/02/2017, 16:49

Ciao MrEngineer , allora la nostra funzione è:

$f(x,y) = x4+y4−8(x^2+y^2)$

La funzione è di classe $ C^\infty $ su $ RR^2 $

Calcoliamo le derivate parziali prime per vedere dove il gradiente $\nabla f(x,y) $ si annulla

$(delf(x,y))/(delx) = 4x(x^2-4) $

$(delf(x,y))/(dely) = 4y(y^2-4) $

impostiamo il sistema

$\{(4x(x^2-4)=0) ,(4y(y^2-4)=0) :}$

da cui ricavo i punti stazionari : $ (0,0) ; (0,2) ; (0,-2) ; (2,0) ; (-2,0) ; (2,2) ; (-2,2) ; (2,-2) ; (-2,-2) $

Calcolo le derivate parziali seconde:

$(delf(x,y))/(delxdelx) = 4(3x^2-4) $

$(delf(x,y))/(delxdely) = 0 = (delf(x,y))/(delydelx)$

$(delf(x,y))/(delydely) = 4(3y^2-4) $

Costruiamo l'Hessiano

$Hf(x,y)=$ $[[4(3x^2-4),0],[0,4(3y^2-4)]]$

il cui determinante è

$det[Hf(x,y)] = 16(3x^2-4)(3y^2-4) $

Sostituiamo il valore di ogni punto nel determinante per stabilirne la natura.

Otterremo che il punto $ (0,0) $ sarà di massimo locale , i punti $(0,2) ; (0,-2) ; (2,0) ; (-2,0) $ saranno di sella , mentre i punti $ (2,2) ; (-2,2) ; (2,-2) ; (-2,-2) $ saranno di minimo locale.

Abbiamo così studiato la funzione in tutto il suo dominio. La seconda parte dell'esercizio ci specifica una restrizione su cui proseguire lo studio $ T={(x,y)∈R^2:x^2+y^2≤9}$ , ovvero su una circonferenza centrata nell'origine di raggio 3. L'insieme $T$ inoltre sappiamo essere chiuso e limitato , per il teorema di Heine–Borel sarà dunque compatto , quindi per Weierstrass ammetterà massimo e minimo assoluto
Si può notare facilmente che tutti i punti trovati fin'ora , si trovano all'interno della circonferenza stessa , dunque proseguiamo lo studio unicamente sul bordo.
indichiamo con $ delT={(x,y)∈R^2:x^2+y^2=9} $ la frontiera della nostra circonferenza , ora potremo proseguire in modi differenti, parametrizzando la nostra curva oppure considerando il Lagrangiano risolvendoci il rispettivo sistema.

In questo caso procediamo con la parametrizzazione della circonferenza:

Considero la parametrizzazione $\{(x=Rcos(t)),(y=Rsin(t)):}$ dove R è raggio della nostra circonferenza

ovvero:

$\{(x=3cos(t)),(y=3sin(t)):}$ $t∈ [0,2\pi)$

considereremo allora la funzione $ h(t)=f(3cos(t),3sin(t))= (3cos(t))^4+(3sin(t))^4-8(cos^2(t)+sin^2(t)) $

sistemiamo la funzione $ h(t) $ e ne studieremo la derivata prima.

$h(t) = 81(cos^4(t)+sin^4(t))-8 $

$h'(t)= 81(4cos^3(t)sin(t)+4sin^3(t)cos(t))= 81(4cos(t)sin(t)*(cos^2(t)sin^2(t)) = 81(4cos(t)sin(t)) $

Dallo studio del segno $h'(t)= 81(4cos(t)sin(t)) >0 $ ricaviamo i punti di massimo e minimo per la funzione $h(t)$ ovvero

$ \pi/2 ; \pi ; 3\pi/2 ; 0 $

Sotituiamo questi valori trovati nella parametrizzazione $\{(x=3cos(t)),(y=3sin(t)):}$

così da trovarci i valori $(x,y) $ relativi alla funzione $ f(x,y) $

otterremo così i punti

$ P1 (3cos(\pi/2), 3sin(\pi/2) ) ; P2 (3cos(\pi),3sin(\pi)) ; P3 (3cos(3\pi/2),3sin(3\pi/2)) ; P4 (3cos(0),3sin(0)) $

Ovvero: $ P1 (0,3) ; P2 (-3,0) ; P3 (0,-3) ; P4(3,0) $

Basterà adesso sostituire tutti questi punti ed i precedenti ( ovviamente non considereremo i punti di sella trovati

precedentemente ) in $f(x,y)$ e vedere quale dei punti assume valore più grande e più piccolo

Otterremo così che i punti $ (2,2) ; (-2,2) ; (2,-2) ; (-2,-2) $ saranno di Minimo Assoluto

mentre i punti $ P1 (0,3) ; P2 (-3,0) ; P3 (0,-3) ; P4(3,0) $ saranno di Massimo Assoluto
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Re: Massimi e minimi relativi e assoluti(con restrizione)

Messaggioda MrEngineer » 19/02/2017, 19:02

La tua risposta è eccezionale,tutti i punti che hai indicato li ritrovo anche io di conseguenza posso dire di aver finalmente risolto l'esercizio :) grazie a tutti ragazzi siete stati eccezionali.
Si può anche chiudere il topic :smt023
MrEngineer
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