funzione continua

Messaggioda vit46 » 16/02/2017, 20:21

ciao ragazzi potete spiegarmi come si calcola la funzione continua?? quello che ho potuto capire dalla teoria e che dobbiamo calcolare il dominio cioè dobbiamo eliminare i fattori di criticità cioè eliminare tutti quei valori che annullano la funzione, inseguito dobbiamo calcolare il limite della funzione f(x) tendente a x --> x0 e se il risultato è uguale a x0 allora la funzione è continua potete dirmi cosa mi sono dimenticato?
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Re: funzione continua

Messaggioda vit46 » 16/02/2017, 20:24

se faccio questa funzione ad esempio f(x) = 1 / x-2 = 1/2-2 = infinito quindi la funzione non è discontinua
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Re: funzione continua

Messaggioda Oiram92 » 17/02/2017, 15:38

La funzione :

\(\displaystyle f(x) = \frac{1}{x-2} \)


è definita in \(\displaystyle \mathbb{R} - \{2\} \) (dominio di \(\displaystyle f(x) \)), ovvero il punto \(\displaystyle x=2 \) è un punto di discontinuità per la funzione in esame. Per verificare la continuità in un punto bisogna vedere se limite destro e limite sinistro esistono finiti e coincidono. In tal caso hai :

\(\displaystyle \lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty \;\;\;\;\;\;\;\; \lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty \)


quindi i due limiti divergono (oltre al fatto che sono diversi), di conseguenza la \(\displaystyle f(x) \) per \(\displaystyle x=2 \) non è definita. Allora, in conclusione (in base al dominio di \(\displaystyle f \)) possiamo dire che essa è continua in tutto \(\displaystyle \mathbb{R} \) eccezion fatta per il punto \(\displaystyle x=2 \) (che rappresenta un punto di discontinuità).
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Re: funzione continua

Messaggioda Magma » 17/02/2017, 15:56

Ma se la funzione è definita in $RR-{2}$, come può essere discontinua in tale punto? :roll:
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Re: funzione continua

Messaggioda Oiram92 » 17/02/2017, 16:39

\(\displaystyle x=2 \) è un punto in cui la funzione non è definita (studiando limite destro e sinistro si vede che la situazione è un pò "ambigua"). Per tale motivo diciamo che la funzione è definita in \(\displaystyle \mathbb{R}-\{2\} \) (alias il dominio di \(\displaystyle f \)). Adesso è evidente che se consideriamo :

\(\displaystyle f(x) := \frac{1}{x-2} : D \subset \mathbb{R} - \{2\} \to \mathbb{R} \)


allora \(\displaystyle f \) è continua nel dominio (proprio perchè \(\displaystyle 2 \not\in D \)), tuttavia se il testo chiede di studiare la continuità di quella \(\displaystyle f \) in \(\displaystyle \mathbb{R} \) cioè :

\(\displaystyle f(x) := \frac{1}{x-2} : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)


è corretto dire che \(\displaystyle x=2 \) è un punto di discontinuità/singolarità isolata per \(\displaystyle f \). Spero di essere stato chiaro. La differenza è sottile ma c'è.
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Re: funzione continua

Messaggioda Bremen000 » 17/02/2017, 16:58

In realtà le questione è abbastanza dibattuta, nel senso che la definizione di continuità accettata da tutti è:

$f: \mathbb{D} \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ è continua in $x_0 \in \mathbb{D}$ se $\lim_{x \to x_0}f(x) = f(x_0)$

e il contrario (ovvero $f$ è discontinua in $x_0$) si ha ovviamente quando questo non si verifica.


Il problema sta nel dove sta $x_0$, cioè la definizione più accettata è quella per cui

$f(x) : \mathbb{D} \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ è discontinua in $x_0 \in \mathbb{D}$ se non è continua in $x_0$.

ovvero si parla di discontinuità solo se $f$ è definita nel punto considerato. Questa definizione in effetti "elimina" le discontinuità che al liceo vengono chiamate eliminabili e di secondo tipo, preservando solo quelle di tipo salto. Cosa che secondo me è la più sensata, anche perché è compatibile poi con definizioni di continuità anche in spazi topologici più generali.

Anche perché se no uno dovrebbe dire che ad esempio $\log(x)$ è discontinuo in $-7$ per dire...
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Re: funzione continua

Messaggioda Vulplasir » 17/02/2017, 17:14

La questione delle continuità o meno di $1/x$ è una questione trita e ritrita nel forum, e in tutte si finisce col dire che 1/x è continua, perché la definizione di continuità vale solo per punti appartenenti al dominio e non ha nessun senso parlare di discontinuità dove una funzione non è definita. La causa di tutta questa confusione è ovviamente la matematica liceale.

@Bremen00 in verità quella non è la definizione di continuità, è un corollario, infatti è equivalente alla definizione di continuità solo se $x_0$ è un punto di accumulazione
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Re: funzione continua

Messaggioda Bremen000 » 17/02/2017, 19:23

@Vulpasir, hai ragione! Se $x_0$ è isolato allora $f$ è lì "automaticamente" continua!
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