Equazione differenziale in un moto circolare (cinematica)

[Elmales]

Il testo del problema mi chiede: descrivere il moto circolare in cui $ alpha = -k^2 * Θ $.
Scrivendo l'accelerazione come $(partial^2 Θ)/(partial t^2)$ e inserendolo nell'equazione diventa: $(partial^2 Θ)/(partial t^2) +k^2 * Θ = 0$.
Risolvendo questa equazione differenziale trovo la soluzione $Θ(t) = c_2 sin(k t) + c_1 cos(k t)$ che però non coincide con quella del libro: $Θ=Θ_0 sen (kt + phi)$.
Ora la domanda è: che considerazioni devo fare per farla venire come quella del libro?

[Eulercio]

Mmm, sicuro che il testo sia corretto?

Forse la richiesta è descrivere il moto per $alpha=-k^2theta$.

In quel caso si ha $(d^2theta)/(dt^2)+k^2theta=0$, la cui soluzione è appunto $theta=theta_0sin(kt+phi)$.

[Vulplasir]

Sei sicuro che le due soluzioni non coincidano?

[Elmales]

Sei sicuro che le due soluzioni non coincidano?

è quello che penso anche io... solo che non so quali sostituzioni debba fare.

[Elmales]

Mmm, sicuro che il testo sia corretto?

Forse la richiesta è descrivere il moto per $alpha=-k^2theta$.

In quel caso si ha $(d^2theta)/(dt^2)+k^2theta=0$, la cui soluzione è appunto $theta=theta_0sin(kt+phi)$.

giusto, ho modificato proprio adesso. Solo che appunto il risultato dell'equazione differenziale è quello e non so come ricondurmi a quello citato dal libro.

[Vulplasir]

Moltiplichi e dividi per $sqrt(c_1^2+c_2^2)$, ottieni $theta(t)=sqrt(c_1^2+c_2^2)(c_1/sqrt(c_1^2+c_2^2)sin(kt)+c_2/sqrt(c_1^2+c_2^2)cos(kt))$, posto $c_1/sqrt(c_1^2+c_2^2)=cosphi$ e $c_2/sqrt(c_1^2+c_2^2)=sinphi$ (è possibile farlo perché la somma dei loro quadrati fa 1, quindi esiste un angolo che ha quel seno e quel coseno), si ha la tesi

[Elmales]

ok quindi così facendo hai anche posto $Θ_0 =sqrt(c_1^2+c_2^2) $ dico bene?

[Vulplasir]

Si, $Theta_0$ e $phi$ vanno determinati in basse alle condizioni iniziali, così come nell'altra forma $c_1$ e $c_2$ vanno determinati in base alle condizioni iniziali.

[Elmales]

Perfetto, grazie mille!

[Elmales]

Comunque per chi fosse interessato ancora a questo topic sono riuscito (dopo tanto tempo) a trovare un'altra soluzione:

ho posto $alpha= \frac{\partial omega}{\partial theta} * omega = -k^2 theta$, separando i differenziali e ponendo $omega_0=0$,$omega>0$ ottengo:
$\int_{omega_0=0}^{omega} omega\ domega = -k^2 \int_{theta_0}^{theta} theta\ d theta$, cioè: $omega^2/2 = -k^2 (theta^2/2 - theta_0^2/2)$ ,che vale a dire con $(k,omega)>0$: $omega=k\sqrt{theta_0^2 - theta^2}$.
Ma $omega=\frac{\partial theta}{\partial t}$ perciò $\int 1/sqrt(theta_0 ^2 - theta^2 )d theta=k\int dt$ e ricordando $\int f'(x)* 1/sqrt(a^2 - [f(x)]^2)\ dx = \arcsin(f(x)/|a|) + l, l in Reali$ si ottiene con $theta_0 >0$:
$arcsin (theta/theta_0) + l_1 = k(t+l_2)$ ovvero $arcsin(theta/theta_0)=kt + kl_2 - l_1 \Leftrightarrow theta=theta_0 sin(kt+ phi)$, posto:$phi=kl_2-l_1$.

Se c'è qualcosa di matematicamente sbagliato o se le ipotesi che ho fatto sono errate fatemelo sapere