Integrali

[axpgn]

Beh ma allora perché la scomposizione in fratti semplici la spiega sopra ?!...

Presumo perché quel caso (cioè un fattore di secondo grado irriducibile) non ci sarà all'esame (in effetti non mi pare di ricordare di averne visti tra quelli da te proposti).

Cmq la tua scomposizione è data da un bel po' di fantasia vedo

Dire proprio di no, per scomporre un polinomio di secondo grado basta trovare le due soluzioni dell'equazione di secondo grado associata ...

E poi fratti semplici ...

[Myriam92]

Dire proprio di no,

E certo, mi sto accorgendo ora che il delta mica era negativo!
Quindi secondo te a delta negativo non ne dovrebbero capitare?

Io mi aspetto di tutto, dopo qst :
$ int_-2^2(|x|-1)dx$ ho provato a seguire il modo dell'altra volta, però non è proprio uguale e mi risulta zero. Può essere?

[axpgn]

Quindi secondo te a delta negativo non ne dovrebbero capitare?

Mi chiedi troppo ...
Tra quelli da te riportati non me ricordo uno e poi c'è quell'appunto ... però, chi può dirlo?

Io mi aspetto di tutto, dopo qst : $ int_-2^2(|x|-1)dx $

È una funzione pari e l'intervallo di integrazione è simmetrico, secondo te, dopo quello che abbiamo detto, come dovrebbe essere?

[Myriam92]

Seno e coseno allora si annullano sempre indipendente dai valori agli estremi dell'integrale?

NO.
In primo luogo perché $sin(x)$ è dispari e $cos(x)$ è pari ... secondariamente perché l'intervallo deve essere simmetrico ... quindi per ogni funzione dispari (come il seno) sarà $int_(-a)^a\ f(x)\ dx = 0$ mentre per ogni funzione pari (come il coseno) sarà $int_(-a)^a f(x) = 2 int_(0)^a f(x)$

A giudicare da qst tua risposta, in effetti quell integrale non dovrebbe potersi annullare.. e forse si può scrivere come $int_0^2 (x-1)$ ? E seguo la procedura che ti riporto sotto?

La funzione che compare nel quinto ($f(x)=|x|/x$) si chiama "segno" proprio perché restituisce $1$ se $x$ è positivo e $-1$ se $x$ è negativo (in zero non è definita); il suo grafico consiste in due rette orizzontali: $y=1$ alla destra di zero e $y=-1$ alla sinistra; il calcolo delle aree è immediato perché sono dei rettangoli di altezza $1$.
Se lo calcoliamo analiticamente ricordando che $F_1=-x$ e $F_2=x$ abbiamo $F_1(0)=-(0)=0, F_1(-2)=-(-2)=2, F_2(1)=(1)=1, F_2(0)=(0)=0$ da cui $(0)-(2)=-2$ e $(1)-(0)=1$ e sommando i due integrali $-2+1=-1$

Ma a proposito in questo, nel fare la somma finale, il 2 non l'avevi preso positivo nel passaggio prima ?

[axpgn]

.. e forse si può scrivere come $int_0^2 (x-1)$ ?

Giusto. O meglio $2*int_0^2 (x-1)\ \ dx$

... in effetti quell integrale non dovrebbe potersi annullare..

Non puoi dirlo a priori ... è sicuramente il doppio di "qualcosa" ma quel qualcosa può anche essere zero ...

... E seguo la procedura che ti riporto sotto? ...

Non ho inteso cosa vuoi dire ma quello è un integrale facile da risolvere $2*int_0^2 (x-1)\ \ dx=x^2-2x$ e sviluppando $(4-4)-(0-0)=0$ ...

Ma a proposito in questo, nel fare la somma finale, il 2 non l'avevi preso positivo nel passaggio prima ?

Non ti seguo ... mi sono perso ...

[Myriam92]

$ 2*int_0^2 (x-1)\ \ dx $
Qui ho capito che poiché la funzione è simmetrica, studiamo l'integrale solo a destra che è positivo ( visto che dalla parte opposta la situazione nn cambia)no?
Ma quel 2 che moltiplichi però è dovuto a questo motivo ? Perché un'altra funzione pari come $int_0^1(x^2-1)dx$ viene $-2/3$ ma qui credo perché è definito solo per valori positivi...

Tornando sempre a $ int_-2^2(|x|-1)dx $

... E seguo la procedura che ti riporto sotto? ...

Io intendevo quella che mi hai fatto vedere per.il primo, il mio primo tentativo di risoluzione era "ispirato " a quella
(Riporto la somma finale direttamente) $[0-2]+[2-0]=0$ va bene pure?
---------
$int_0^1log(2x+1)dx$ risulta $1/2log3-1$?
---------
$ int_-7^-3 2x/(x^2+6x-16) $ risulta $2log5-2/5log9$?

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

PS: dubbietto: $-log6=-(log3+log2)$ si può scrivere così un log negativo con argomento "scomponibile"?
E $-log(4/5)$ come.va scritto sottoforma di differenza?(sempre se ammesso)

Grazie mille.

[axpgn]

... studiamo l'integrale solo a destra che è positivo ( visto che dalla parte opposta la situazione nn cambia)no?

E chi l'ha detto che è positivo? È un integrale come gli altri ... lo studiamo solo a destra perché a sinistra vale uguale (essendo pari) ma il suo valore può essere qualsiasi ... e lo moltiplico per due proprio perché ne sto calcolando la metà ...
In questa $ int_0^1(x^2-1)dx $ l'intervallo di integrazione non è simmetrico quindi cade il discorso ...

Tornando sempre a $ int_-2^2(|x|-1)dx $ ...

Non riesco a comprendere ... cita tutto quello che serve (eventualmente sotto spoiler per non allungare troppo)

$ int_0^1log(2x+1)dx $ risulta $ 1/2log3-1 $?

No.

$ int_-7^-3 2x/(x^2+6x-16) $ risulta $ 2log5-2/5log9 $?

Sì.

$-log6=-(log3+log2) $

Ok (è necessario che l'argomento sia positivo, non il logaritmo ...)

E $ -log(4/5) $ come.va scritto sottoforma di differenza?Grazie mille.

$-(log4 - log5)$

[Myriam92]

In questa $ int_0^1(x^2-1)dx $ l'intervallo di integrazione non è simmetrico quindi cade il discorso ...

ok , ma poi la funzione non è simmetrica perchè sostituendo $-x$ verrebbe $-x^2-1$? ;
$int_0^(pi)4senx$ questo nn si annulla nonostante dispari, visto che non è definito in un intervallo simmetrico?

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

La funzione che compare nel quinto (f(x)=|x|x) si chiama "segno" proprio perché restituisce 1 se x è positivo e −1 se x è negativo (in zero non è definita); il suo grafico consiste in due rette orizzontali: y=1 alla destra di zero e y=−1 alla sinistra; il calcolo delle aree è immediato perché sono dei rettangoli di altezza 1.
Se lo calcoliamo analiticamente ricordando che F1=−x e F2=x abbiamo F1(0)=−(0)=0,F1(−2)=−(−2)=2,F2(1)=(1)=1,F2(0)=(0)=0 da cui (0)−(2)=−2 e (1)−(0)=1 e sommando i due integrali −2+1=−1

basandomi su questo tuo ragionamento, io avevo fatto la seguente su qst integrale: $ int_-2^2(|x|-1)dx $
$F1(0)=0, F1(-2)=2;F2(2)=2, F2(0)=0$ da cui $ [0-2]+[2-0]=0 $Avrei allungato, ma almeno era giusto cmq?

$ int_0^1log(2x+1)dx $ risulta $ 1/2log3-1 $?

Colpa di un segno. E' $ 3/2log3-1 $?

[axpgn]

... ok , ma poi la funzione non è simmetrica perchè sostituendo $-x$ verrebbe $-x^2-1$?

La funzione è simmetrica, è l'intervallo di integrazione che non lo è ... peraltro $(-x)^2=(x)^2$

$ int_0^(pi)4senx $ questo nn si annulla nonostante dispari, visto che non è definito in un intervallo simmetrico?

Non lo so se si annulla o no, quello che è sicuro è il fatto che non essendo l'intervallo di integrazione simmetrico non puoi usare quella "scorciatoia" ...

$ int_0^1log(2x+1)dx $ risulta $ 1/2log3-1 $?
Colpa di un segno. E' $ 3/2log3-1 $?

Yes.

... basandomi su questo tuo ragionamento, io avevo fatto la seguente su qst integrale: $ int_-2^2(|x|-1)dx $
$ F1(0)=0, F1(-2)=2;F2(2)=2, F2(0)=0 $ da cui $ [0-2]+[2-0]=0 $Avrei allungato, ma almeno era giusto cmq?

Giusto.

[Myriam92]

Ricapitolando: se la funzione è simmetrica(pari o dispari che sia) con intervalli dell'integrale anch'essi simmetrici, l'integrale si annulla, ok?

$int_0^1xlog(x+1)dx=1/4$?

Grazie in anticipo