disuguaglianze a limite

Messaggioda anto_zoolander » 11/03/2017, 00:21

Wwwe :-D

Supponiamo di avere una certa $f:(a,+infty)->RR,a inRR$ con $f$ derivabile su tutto $(a,+infty)$ tale che $f(x)geq0forallx in(a,+infty)$

Mi ricordo che una volta mi venne detto che al limite le disuguaglianze si indeboliscono, per esempio $geq$ diventa $>$
Ma se questo fosse vero, presa $f(x)=1/x,forallx in(0,+infty)$

Essendo $f(x)geq0=>lim_(x->+infty)f(x)>0$ ma sappiamo che il limite è $0$.

Detto questo, mi è stata detta una cosa falsa?

Anche perché molte dimostrazioni del teorema di Fermat sui punti stazionari usa proprio le disugualianze.

Anzi io oserei dire che si rafforzano. Nell'esempio precedente, è vero che $geq$ è vera anche solo se $>$ è vera, ma se anche dicessi $f(x)>0$ avrei che il limite sarà $geq0$. In particolare,'in questo caso, farà $0$
$sum_(n=0)^(infty)phi^(2n)=sum_(n=0)^(infty)(phi+1)^n=Phi$

$sum_(n=0)^(infty)|phi|^n=1+Phi$

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Re: disuguaglianze a limite

Messaggioda Ziben » 11/03/2017, 02:13

Ciao,
io ho sempre saputo che se una condizione si "indebolisce" allora si "allarga" cioè comprende un numero maggiore di casi, mentre se si "rafforza" si "stringe" ovvero esclude casi che prima erano permessi. Ora, se questa terminologia fosse vera allora un indebolimento comporterebbe il passaggio da $>$, forma stretta a $\geq$ forma larga, e sarebbe come sostieni tu, cioè che dovrebbe essere il contrario di ciò che hai fatto vedere all'inizio del post:

$1/x>0$ in $(0,+\infty)$ e $lim_(x->+\infty)1/x \geq 0$

Ma non sono più sicuro della valenza terminologica di cui sopra
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Re: disuguaglianze a limite

Messaggioda anto_zoolander » 11/03/2017, 06:44

Si infatti io la penso anche in questa maniera.
Magari sarà stato un errore o un ricordo 'strano', quindi aspetto che venga chiarito.
Anche se comunque già basta questo controesempio per smontare questa cosa...
$sum_(n=0)^(infty)phi^(2n)=sum_(n=0)^(infty)(phi+1)^n=Phi$

$sum_(n=0)^(infty)|phi|^n=1+Phi$

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Re: disuguaglianze a limite

Messaggioda anto_zoolander » 12/03/2017, 04:20

Secondo me una possibile dimostrazione di questo asserto è:

Supponiamo di avere una certa $f:A=(a,+infty)->RR,a inRR$ con $f$ continua su tutto $(a,+infty)$, allora:

se $f(x)>0forallx inA$ ed esiste $lim_(x->+infty)f(x)=linRR^~ =>lim_(x->+infty)f(x)geq0$


Se per assurdo fosse $l=c inRR^~<0$ allora per il teorema di permanenza del segno esisterebbe un intorno $U_c$ tale che $f(x)<0forallx inU_c$ Il che contraddice le ipotesi.



NB: per $RR^~$ intendo $RRcup{-infty,+infty}$
Poi allo stesso modo si generalizza per un generico valore, anziché $0$.

edit: ho aggiunto l'ipotesi di esistenza del limite
Ultima modifica di anto_zoolander il 13/03/2017, 08:47, modificato 3 volte in totale.
$sum_(n=0)^(infty)phi^(2n)=sum_(n=0)^(infty)(phi+1)^n=Phi$

$sum_(n=0)^(infty)|phi|^n=1+Phi$

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Re: disuguaglianze a limite

Messaggioda Fioravante Patrone » 12/03/2017, 20:48

Le disuguaglianze al limite si indeboliscono. Ribadisco e sottoscrivo. Roba che fa parte dell'istinto dell'analista.

Semplicemente, la disuguaglianza debole è "$\ge$", mentre "$>$" è la disuguaglianza stretta (o "forte", anche se di solito si usa questo aggettivo quando c'è qualcosina di più di un semplice "$>$")
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Re: disuguaglianze a limite

Messaggioda anto_zoolander » 12/03/2017, 22:14

Fioravante Patrone ha scritto:Le disuguaglianze al limite si indeboliscono. Ribadisco e sottoscrivo. Roba che fa parte dell'istinto dell'analista.


Si forse era proprio lei a dirmelo e avevo frainteso il concetto di 'indebolimento' di una disuguaglianza.
È corretta la dimostrazione da me riportata?
$sum_(n=0)^(infty)phi^(2n)=sum_(n=0)^(infty)(phi+1)^n=Phi$

$sum_(n=0)^(infty)|phi|^n=1+Phi$

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Re: disuguaglianze a limite

Messaggioda Ernesto01 » 12/03/2017, 22:50

Penso che sia una conseguenza diretta della definizione di limite, se il limite $l$ è negativo allora deve esistere un $M>0$ per cui $f(x)$ è negativa in $[M,oo)$, assurdo per ipotesi.
Inoltre credo che quando enunci quello che vuoi dimostrare fai un piccolo errore concettuale. Il limite, se esiste, ha quella proprietà. Hai messo quella freccia di implicazione e letto così sembra che ogni funzione non negativa e continua a $oo$ ammetta limite, ma per esempio $g(x)=cosx+3$ non ammette limite.
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Re: disuguaglianze a limite

Messaggioda anto_zoolander » 13/03/2017, 00:08

Giusto dovevo mettere l'ipotesi di esistenza del limite.
Mi piaceva vederlo con il teorema di permanenza

NB aggiungo l'ipotesi e sistemo appena arrivo a casa. Fatto.
$sum_(n=0)^(infty)phi^(2n)=sum_(n=0)^(infty)(phi+1)^n=Phi$

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Re: disuguaglianze a limite

Messaggioda Fioravante Patrone » 13/03/2017, 10:42

Visto che raptorista mi ha ricordato la fama di "cattivissimo" (ho ancora la maglietta!), cerco di onorarla.

anto_zoolander ha scritto:Giusto dovevo mettere l'ipotesi di esistenza del limite.
Mi piaceva vederlo con il teorema di permanenza

E con cosa lo volevi vedere, sennò?


anto_zoolander ha scritto:NB aggiungo l'ipotesi e sistemo appena arrivo a casa. Fatto.

Fatto un corno.

anto_zoolander ha scritto:Supponiamo di avere una certa $f:A=(a,+infty)->RR,a inRR$ con $f$ continua su tutto $(a,+infty)$, allora:

se $f(x)>0forallx inA$ ed esiste $lim_(x->+infty)f(x)=linRR^~ =>lim_(x->+infty)f(x)geq0$

1. la continuità non serve a niente. Infatti, guarda caso, nella dimostrazione non la usi. E se una ipotesi non viene usata nella dimostrazione, è buona norma igienica porsi delle domande

2. "$=>$" già significa "se... allora...", quindi mettere "se" davanti a una frase che si basa su $=>$, fa davvero brutto. Per lo meno, a me fa venire l'orticaria

3. "esiste $lim_(x->+infty)f(x)=linRR^~$" è anche questo un brutto modo di esprimersi. So che si usa, ma ti inviterei a scrivere in modo più corretto, dal punto di vista formale. Più che altro per essere sicuro di aver capito che c'è una certa differenza...
Lascio perdere il fatto che $l in RR^~$, che fa parte della stenografia standard. Ma ti faccio notare che $lim_(x->+infty)f(x)=l$ è una PROPOSIZIONE che può essere vera o falsa (dipende da $f$ e da $l$), NON è un numero reale. Quindi come fai a richiedere che ESISTA?
Diciamolo in modo almeno decente: "esiste $l in RR^~$, con $lim_(x->+infty)f(x)=l$"
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Re: disuguaglianze a limite

Messaggioda Indrjo Dedej » 13/03/2017, 12:28

Fioravante Patrone ha scritto:...ti faccio notare che $lim_(x->+infty)f(x)=l$ è una PROPOSIZIONE che può essere vera o falsa (dipende da $f$ e da $l$), NON è un numero reale. Quindi come fai a richiedere che ESISTA?

" $lim_{x to +oo} f(x)=\lambda$ ", con $lambda in RR$, significa (questione di abbreviazione, se vuoi)
$forall epsilon in RR^+ \ exists m in RR^+ \ forall x in RR , x>m =>|f(x)-lambda|<epsilon$.


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