Equazione irrazionale

[elliot]

Ciao a tutti,
chiedo aiuto per la seguente equazione irrazionale.
Vorrei sapere se il procedimento è corretto.
la soluzione è $+-128$

$ x-4root(7)(x^5)+32root(7)(x^2)=128 $
$(x^(1/7))^7-4(x^(1/7))^5+32(x^(1/7))^2=128$
$x^(1/7)=y$
$y^7-4y^5+32y^2-128=0$

risolvo con Ruffini

$(y^6+2y^5+32y+64)(y-2)=0$
$(y^5+32)(y+2)(y-2)$
$(y^4-2y^3+4y^2-8y+16)(y+2)^2(y-2)=0$
a questo punto impasse totale
$(y^4-2y^3+4y^2-8y+16)$ non interseca l'asse delle ascisse (ho usato geogebra) quindi non ha soluzioni ?!

Grazie a tutti

[lasy]

non ti serve più nulla, hai risolto:

da $y=+-2$ segue $x=+-128$

[elliot]

Grazie, non essendo capace di risolvere le equazioni di quarto grado (Cardano) ho qualche difficoltà a capire se l'equazione è risolta.

[@melia]

Grazie, non essendo capace di risolvere le equazioni di quarto grado (Cardano) ho qualche difficoltà a capire se l'equazione è risolta.

Come non ne sei capace? Hai appena verificato che non ammette soluzioni, in modo un po' artigianale, ma corretto.

In alternativa potresti dimostrare che $ (y^4-2y^3+4y^2-8y+16) $ è sempre positivo
$ (y^4-2y^3+4y^2-8y+16) = (y^4-2y^3+y^2)+2y^2 +(y^2-8y+16)= (y^2-y)^2+2y^2+(y-4)^2$ è la somma di tre addendi maggiori o uguali a 0, che non si annullano contemporaneamente, quindi non si annulla mai.

[lasy]

ottimo!! mi piace

[elliot]

Per qualsiasi valore di y, la somma sarà sempre maggiore di zero.
Ottimo davvero!
Grazie a tutti, siete impagabili.