Trasformata ed antitrasformata di Fourier

[Bubbino1993]

Buongiorno,

il prof di Meccanica delle Vibrazioni ci ha introdotto l'argomento in oggetto parlando di un sistema massa-smorzatore-molla eccitato da una forzante periodica. Riporto il discorso che ci ha fatto perché le formule ottenute sono sbagliate e volevo chiedere se qualcuno può spiegarmi l'errore.

$m ddotx + c dotx + kx = f$

$f(t)=sum_(i=-infty)^(infty)f_i e^(j omega_i t) =sum_(i=-infty)^(infty)f_i/(Delta omega) e^(j omega_i t) Delta omega$

Passando dallo spettro discreto a quello continuo,

$lim_(Delta omega rarr 0) (f_i)/(Delta omega)= F(omega)$

Antitrasformata di Fourier: $ f(t)=int_(-infty)^infty F(omega) e^(j omega t) d omega$

$f_i=1/T int_(-T/2)^(T/2) f(t) e^(-j omega_i t) d t$

$T=(2pi)/(Delta omega)$, per cui $(f_i)/(Delta omega)=1/(2pi) int_(-T/2)^(T/2) f(t) e^(-j omega_i t) d t$

Trasformata di Fourier: $F(omega)=1/(2pi) int_(-infty)^infty f(t) e^(-j omega t) d t$

L'errore è che il fattore $1/(2pi)$ relativo alla trasformata di Fourier sarebbe dovuto essere relativo all'antitrasformata di Fourier.

Grazie.

[dissonance]

Ma quelle sono solo convenzioni, tu puoi definire la trasformata e l'antitrasformata di Fourier con il $2\pi$ un po' dove vuoi e non ci sarebbe nessuna differenza nella teoria. Quindi non credo che ci sia nessun errore, ma solo qualche convenzione che hai implicitamente scelto nella formula delle serie di Fourier e che ti ha portato a questa convenzione per la trasformata di Fourier.

[Bubbino1993]

Grazie per la risposta.

Convenzioni. In effetti, il prof ci ha anche detto che alcuni testi invertono i segni di $+-j omega t$ in trasformata ed antitrasformata.

Il mio dubbio era legato al fatto che ce le ha dimostrate come sopra, ma poi negli esercizi usa il fattore $1/(2pi)$ nell'antitrasformata anziché nella trasformata. Per caso, sulla base della dimostrazione che ho riportato nel messaggio di sopra ti viene in mente come far risultare matematicamente quel fattore nell'antitrasformata anziché nella trasformata?

[dissonance]

Purtroppo queste cose sono di un fastidioso unico. Addirittura alcuni autori di matematica usano scrivere \(2\pi=1\), adesso non trovo nessuna referenza ma l'ho visto varie volte. In questo modo uno ottiene risultati sbagliati di qualche potenza di \(2\pi\) ma essenzialmente corretti e non si deve portare appresso la rottura dei vari pi greci. Quindi francamente non ti saprei aiutare, ma non ti consiglio di perderci troppo tempo

[Bubbino1993]

OK, grazie comunque.