Calcolo delle Variazioni:Minimo e Massimo di un Funzionale

[mklplo]

Ti ringrazio della risposta,se ho capito,i metodi diretti sono quelli che mi assicura che abbia o meno soluzione,effettivamente se sapessi in anticipo se esiste o meno il minimo eviterei di fare sforzi inutili per arrivare ad una soluzione che non c'è.

[gugo82]

Propongo un esempio in cui i conti possono essere fatti tutti in modo esplicito, in modo da far apprezzare ai curiosi come possono interagire i metodi moderni e classici del CdV.

***

Problema:

Posto:
\[
I[u] := \int_0^1 \mathbf{e}^x\ \left( u^2(x) + \frac{1}{2}\ (u^\prime)^2 (x)\right)\ \text{d} x\; ,
\]
risolvere il problema:
\[
\min \left\{ I[u],\ u\in C^1([0,1]) \text{ tale che } u(0)=0 \text{ ed } u(1)=\mathbf{e}\right\}\; .
\]
In altre parole, stabilire se il funzionale $I$ è limitato inferiormente nella classe:
\[
X:=\{u \in C^1([0,1]):\ u(0)=0,\ u(1)=\mathbf{e}\}
\]
e, se possibile, calcolarne il minimo e le funzioni estremanti.

***

Soluzione:

Per risolvere il problema lo segmentiamo e, in ordine, discutiamo:

1. Esistenza: la soluzione esiste usando il Metodo Diretto,
   
   
2. Unicità: la soluzione è unica usando la convessità dell'integrando,
   
   
3. Regolarità: la soluzione del problema è tanto regolare quanto serve per riuscire a scrivere l'equazione di Eulero-Lagrange associata al funzionale,
   
   
4. Calcolo Esplicito: la soluzione si può determinare esplicitamente usando l'equazione di Eulero-Lagrange associata al funzionale.

Cominciamo considerando il punto 1.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Come detto da Luca, il Metodo Diretto si fonda sulla possibilità di stabilire un teorema à la Weierstrass per il funzionale $I$. Questo è impossibile da fare nell'insieme $X\subset C^1$ in esame: infatti, $C^1$ è dotabile di topologie "decenti" (indotte da norme, come \(\| u\| := \| u\|_p + \| u^\prime \|_p\)¹) ma non "sufficientemente buone" da servire allo scopo.²
Per applicare il Metodo Diretto, allora, serve "completare" $C^1$ rispetto ad una topologia "decente" della quale esso si può dotare. Ciò si può fare con metodi di Topologia Generale e si può dimostrare che con tali metodi si ottengono i cosiddetti spazi di Sobolev $W^{1,p}(0,1)$ (qui $p>= 1$), cioè quegli spazi che contengono le funzioni $u\in L^p(0,1)$ tali che:
\[
\exists v\in L^p(0,1):\quad \forall \phi \in C_0^\infty ([0,1]),\ \int_0^1 u(x)\ \phi^\prime (x)\ \text{d} x = - \int_0^1 v(x)\ \phi(x)\ \text{d} x
\]
(qui $p>= 1$ o $p=oo$ e \(C_0^\oo([0,1])\) denota lo spazio delle funzioni continue in $[0,1]$, indefinitamente derivabili in $]0,1[$ e nulle negli estremi dell'intervallo).
La funzione $v$ è detta, usualmente, derivata debole di $u$ e si denota col simbolo \(\operatorname{D} u\); inoltre si prova che \(\operatorname{D} u=u^\prime\) non appena \(u\in C^1([0,1])\). Quindi \(X\subset C^1([0,1])\subseteq W^{1,p}(0,1)\).
Inoltre, ogni funzione di $X$ si può scrivere come somma di \(u_0(x):=\mathbf{e} x \in C^1([0,1])\) (che soddisfa le condizioni al contorno assegnate per determinare la classe $X$) e di un'appropriata funzione \(y \in C_0^1([0,1])\), i.e. $u=u_0+y$; si può poi dimostrare che anche \(C_0^1([0,1])\) è uno spazio topologicamente "decente" ma non "sufficientemente buono" e che completandolo si ottiene un altro tipo di spazio di Sobolev, usualmente denotato con $W_0^{1,p}(0,1)$, più "piccolo" di $W^{1,p}(0,1)$, le cui funzioni sono "nulle" in $0$ ed in $1$ e tale che \( C_0^1([0,1])\subset W_0^{1,p}(0,1)\). In tal modo si vede che $X\subset \tilde{X} := u_0 + W_0^{1,p}(0,1) \subset W^{1,p}(0,1)$.

Gli spazi di Sobolev $W^{1,p}(0,1)$ e $W_0^{1,p}(0,1)$, per costruzione, sono completi rispetto alla topologia costruita come quella di $C^1$ e $C_0^1$; quindi abbiamo spazi con proprietà topologiche "migliori" di quelle di $C^1$ e $C_0^1$ (e di $X$) e perciò (in linea di principio) è più facile ottenere teoremi di esistenza.
Tuttavia, in $W^{1,p}(0,1)$ ed in $W_0^{1,p}(0,1)$ non abbiamo più la nozione classica di derivata, che è rimpiazzata dalla derivata debole, né tantomeno di derivata continua; ciò spiega il punto 3 (Regolarità) della scaletta: se si vuole scrivere l'equazione di Eulero-Lagrange sugli estremali "deboli" si deve innanzitutto essere sicuri di poterli derivare in senso "classico".

Se l'integrando $f(x,u,\xi)$ che definisce il funzionale (ossia la cosiddetta Lagrangiana) è "sufficientemente buono", il funzionale $I[\cdot ]$ può essere prolungato per continuità da $C^1$ a tutto $W^{1,p}$; in tal modo ci si trova sotto mano una versione "indebolita" del problema di minimo originario, i.e. la seguente:
\[
\inf \Big\{ I[u],\ u \in u_0+W_0^{1,p}(0,1)\Big\}\; .
\]

A questo punto si pongono tre problemi:

1. scegliere lo spazio $W^{1,p}(0,1)$ giusto per ambientare il problema,
   
2. scegliere una sottoclasse di $W^{1,p}(0,1)$ che contenga $X$ e che non sia "troppo grande",
   
3. fornire il teorema à la Weierstrass per il funzionale.

Non scendo nei dettagli (cfr. Dacorogna, Introduction to the Calculus of Variations), ma i punti a,b,c si possono affrontare insieme usando il seguente risultato:

Siano $\Omega \subseteq \RR^n$ un insieme limitato con frontiera Lipschtziana, \(f=f(x,u,\xi)\in C (\overline{\Omega}\times \mathbb{R}\times \mathbb{R}^n)\) ed:
\[
I[u] := \int_\Omega f(x,u(x), \nabla u(x))\ \text{d} x\; .
\]
Se:

• \(\xi \mapsto f(x,u,\xi)\) è convessa per ogni \((x,u)\in \overline{\Omega}\times \mathbb{R}\),
  
• esistono $p>q>=1$, $\alpha>0$ e $\beta,\gamma \in \RR$ tali che:
  \[
  \tag{C}
  f(x,u,\xi) \geq \alpha\ |\xi|^p + \beta\ |u|^q + \gamma
  \]
  per ogni \((x,u,\xi)\in \overline{\Omega}\times \mathbb{R}\times \mathbb{R}^n\),

allora il problema di minimo:
\[
\inf \Big\{ I[u],\ u\in u_0+W_0^{1,p}(\Omega) \Big\}
\]
(con $u_0\in W^{1,p}(\Omega)$ tale che $I[u_0]<+\infty$) ha almeno una soluzione in $\bar{u} \in u_0 + W_0^{1,p}(\Omega)$.

Infatti, questo teorema dice che il $p$ "giusto" è quello per il quale vale una minorazione del tipo (C) e che la classe $\tilde{X}=u_0+W_0^{1,p}(0,1)$ è buona per risolvere il problema di minimo.

Nel nostro caso, si ha $n=1$, $\Omega=[0,1]$ e \(f(x,u,\xi) = \mathbf{e}^x u^2 + 1/2 \mathbf{e}^x \xi^2 \in C^\infty ([0,1])\) ; perciò $\xi \mapsto f(x,u,\xi)$ è convessa per ogni $(x,u)\in \Omega \times \RR$ e d'altro canto (essendo $\mathbf{e}^x\geq 1$ per $x\in \Omega$) risulta:
\[
f(x,u,\xi ) \geq \mathbf{e}^0 u^2 + \frac{1}{2} \mathbf{e}^0 \xi^2 = u^2 + \frac{1}{2} \xi^2
\]
cosicché vale la (C) con $p=q=2$, $\alpha =1/2$, $\beta =1$ e $\gamma =0$.
Ciò implica che lo spazio di Sobolev "giusto" per ambientare il problema è $W^{1,2}(0,1)$ e che il minimo del funzionale esiste in $\tilde{X} := u_0+W_0^{1,2}(0,1)$ con $u_0(x)=\mathbf{e} x$.

Andiamo al punto 2.

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Rimandando sempre al testo di Dacorogna, si vede che nelle stesse ipotesi del teorema precedente si ha:

Se almeno una tra le funzioni parziali $u\mapsto f(x,u,\xi)$ o $\xi \mapsto f(x,u,\xi)$ è strettamente convessa (per ogni $(u,\xi)\in \Omega \times \RR^n$ la prima o per ogni $(x,u)\in \Omega \times \RR$ la seconda), allora il problema di minimo:
\[
\inf \Big\{ I[u],\ u\in u_0+W_0^{1,p}(\Omega) \Big\}
\]
ha unica soluzione in $u_0+W_0^{1,p}(0,1)$.

Nel caso in esame, la funzione parziale $\xi \mapsto \mathbf{e}^x u^2 + 1/2 \mathbf{e}^x \xi^2$ è strettamente convessa per ogni $(x,u)\in \Omega \times \RR$ (infatti la derivata seconda rispetto a $\xi$ è strettamente positiva in $\RR$); ergo il problema di minimo ha unica soluzione in $u_0+W_0^{1,2}(0,1)$.

Il punto 3 è quello, in generale, davvero spinoso...

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Esso è il famoso XIX problema posto da Hilbert al Congresso Internazionale di Matematica di Parigi del 1900 ed è stato risolto da Ennio de Giorgi e John Forbes Nash nel 1957.
Dato che la funzione $f$ è analitica, si può affermare che gli estremanti del funzionale $I$ sono anch'essi analitici, in particolare sono di classe $C^\infty$.

Infine, punto 4, calcoliamo gli estremanti ed il valore del minimo.

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Dato che la soluzione $\bar{u}\in u_0+W_0^{1,2} (0,1)$ è di classe $C^\infty$ essa soddisfa in senso classico l'equazione di Eulero-Lagrange associata al funzionale, i.e.:
\[
\frac{\text{d}}{\text{d} x} \Big[ f_\xi \big( x,\bar{u}, \bar{u}^\prime (x) \big)\Big] = f_u\big( x, \bar{u}(x), \bar{u}^\prime (x)\big)\; ,
\]
e verifica le condizioni al bordo:
\[
\bar{u}(0)=u_0(0)=0\; ,\quad \bar{u}(1)=u_0(1)=\mathbf{e}\; ;
\]
dato che $\bar{u}$ è l'unico estremante per $I$, possiamo concludere che $\bar{u}$ è l'unica soluzione del problema con condizioni al bordo:
\[
\begin{cases}
\frac{\text{d}}{\text{d} x} \Big[ f_\xi \big( x,u(x), u^\prime (x) \big)\Big] = f_u\big( x, u(x), u^\prime (x)\big) &\text{, in } ]0,1[ \\
u(0)=0\\
u(1) = \mathbf{e}
\end{cases}\; .
\]
Scrivendo esplicitamente l'equazione si trova:
\[
\begin{split}
&\begin{cases}
\frac{\text{d}}{\text{d} x} \Big[ \mathbf{e}^x u^\prime (x) \Big] = 2\mathbf{e}^x\ u(x) &\text{, in } ]0,1[\\
u(0)=0\\
u(1) = \mathbf{e}
\end{cases}\\
\Leftrightarrow\quad &\begin{cases}
u^{\prime \prime} (x) + u^\prime (x) - 2 u(x)=0 &\text{, in } ]0,1[\\
u(0)=0\\
u(1) = \mathbf{e}
\end{cases}
\end{split}
\]
e, facendo i conti, si vede che l'unica soluzione del problema è:
\[
\bar{u}(x) = \frac{\mathbf{e}^3}{\mathbf{e}^3 - 1}\ \left( \mathbf{e}^x - \mathbf{e}^{-2x}\right)\; .
\]
Infine, per sostituzione diretta, si trova:
\[
\min_{u\in X} I[u] = I[\bar{u}] = \frac{\mathbf{e}^3(\mathbf{e}^3 + 2)}{2(\mathbf{e}^3 -1)}\approx 11.62\; .
\]

---

Note

1. Qui e nel seguito il simbolo:
   \[
   \| u\|_p := \left( \int_0^1 |u(x)|^p\ \text{d} x\right)^{1/p}
   \]
   denota la norma di ordine $p$ (con $p>1$) ed il simbolo:
   \[
   \| u\|_\infty := \operatorname{esssup}_{x\in (0,1)} |u(x)|
   \]
   denota la norma dell'estremo superiore (essenziale). Tra le norme appena definite solo quella con $p=2$ è indotta da un prodotto scalare, cioè:
   \[
   \langle u,v\rangle := \int_0^1 u(x)\ v(x)\ \text{d} x\; .
   \] ↑
2. Non entro nei dettagli qui, che servirebbe un trattato. Ti basti sapere che lo spazio topologico $C^1$ non è completo, così come non lo è $QQ$ rispetto alla topologia usuale. Questa "incompletezza" dello spazio di base è fortemente condizionante per il nostro scopo: ciò si capisce, ad esempio, proseguendo il parallelo con $QQ$, nel quale è impossibile provare l'esistenza del minimo per la funzione $\cos x$. ↑

[mklplo]

Grazie,ancora,credo di aver capito come si risolvono i problemi usando entrambi i metodi