Area di superficie conica

Messaggioda babbons » 05/04/2017, 09:50

ciao a tutti. avrei bisogno di una mano sull'impostazione di questo esercizio.

Ho una superificie conica di vertice P = (0, 0, r) mentre la generatrice generica congiunge
il vertice con i punti della parabola (x, x^2/(2r), 0), (r > 0). La formula che ci interessa
`e S(t, u) = v + uq(t) con le dovute sostituzioni.
Detto (x, y, z) il punto generico della superficie conica, si calcoli l’area di quella parte di superficie
conica che soddisfa la condizione 0 ≤ y ≤ y0
babbons
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OT

Messaggioda dissonance » 06/04/2017, 12:40

TeM ha scritto:trattandosi di una superficie illimitata la propria area non può che essere infinita.

Una curiosità. Tecnicamente parlando questo è falso: esistono superfici non limitate con area finita. Per esempio, se \(\alpha>1\) allora la superficie di rivoluzione attorno all'asse delle \(y\) del grafico \(x= |y|^{-\alpha}\) nella regione \(y\in[1, \infty)\) (una variazione della trombetta di Torricelli) non è limitata ma ha area finita data dall'integrale
\[\displaystyle
A=2\pi \int_1^\infty t^{-\alpha}\sqrt{1+\alpha^2t^{-2\alpha}}\, dt<\infty.\]
Qui ho usato la formula per l'area di una superficie di rivoluzione presa da Wikipedia.

P.S. Questo messaggio era inizialmente tra i tag OT, ma ho dovuto rimuoverli perché davano problemi alla visualizzazione della formula grande.
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