Bene.
Quindi hai già fatto la
separazione del moto del centro di massa e ti sei messo nell'approssimazione di massa nucleare infinita. A questo punto, risulta che l'equazione da risolvere è appunto :
$ Hpsi(r_1,r_2)=Epsi(r_1,r_2) $
dove $psi(r_1,r_2)$ rappresenta la
parte spaziale della funzione d'onda totale
a due elettroni.
Considerando che
$ H=-1/2grad_(r_1)^2+1/2grad_(r_2)^2-2(1/r_1+1/r_2)+1/r_12 $
è invariante sotto permutazione dei due elettroni,
sia $ psi(r_1,r_2) $ che $ psi(r_2,r_1) $ soddisferanno
$ Hpsi(r_1,r_2)=Epsi(r_1,r_2) $
Inoltre, dato che queste due funzioni devono essere continue,limitate e a valore singolo,
se $psi(r_1,r_2)$ corrisponde ad un autovalore non degenere, allora $ psi(r_1,r_2) $ e $psi(r_2,r_1)$ differiscono per un fattore moltiplicativo , che si dimostra essere unitario, applicando due volte l'operatore parità. Quindi
$ psi(r_2,r_1)=+-psi(r_2,r_1) $
qui non sto ancora considerando le variabili di spin.
Ho trovato stati spazialmente simmetrici/asimettrici sotto permutazione dei due elettroni .
Data l'indipendenza dell' hamilitoniana dalle variabili di spin, lo stato totale dell' atomo può essere descritto attraverso la sua funzione d'onda spaziale insieme alle componenti di spin in una qualche direzione, per esempio l'asse z.
Seguendo le regole di addizione del momento angolare, gli spin degli elettroni in questo caso, uno trova
$ { ( 1/2ox 1/2=1o+ 0 ),( 2xx 2=3+1 ):} $
cioè i cercati stati di tripletto e singoletto, che saltano fuori dall'addizione degli spin elettronici.
I stati di tripletto sono simmetrici , il singoletto è antisimmetrico.
Ora per il principio di esclusione di Pauli, la funzione d'onda totale di un sistema di elettroni, data appunto dal prodotto della funzione d'onda spaziale e quella spinoriale, deve essere antisimmetrica.
Dunque puoi creare meno stati,facendo questi prodotti, di quanti te ne potevi aspettare a priori.
Storicamente, questo discorso fu fatto al contrario.
Come hai iniziato a dire tu qui
E' evidenza sperimentale che se la componente spaziale è ....
fu proprio l'inesistenza di uno stato fondamentale di tripletto la chiave per arrivare al principio di esclusione di Pauli.
Ho allungato il discorso ma spero di averti chiarito un po le idee,
il punto è che nell' approssimazione in cui ci siamo messi, che è più che ragionevole,
la funzione d'onda che descrive il sistema è elettronica, quindi deve essere antisimmetrica.